1 – Image d'une suite convergente
Propriété 1 : Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\) et \((u_{n})\) une suite d'éléments de \(I\).
Si \((u_{n})\) converge vers un réel \(\ell\) appartenant à \(I\), alors la suite \((f(u_{n}))\) converge vers \(f(\ell)\) : \[\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} f(u_{n}) = f(\ell)\]
Si \((u_{n})\) converge vers un réel \(\ell\) appartenant à \(I\), alors la suite \((f(u_{n}))\) converge vers \(f(\ell)\) : \[\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} f(u_{n}) = f(\ell)\]
Exemple 1 :
Déterminer la limite des suites définies pour \(n \geq 1\) par \(v_{n} = \sqrt{4 + \dfrac{1}{n}}\) et \(w_{n} = e^{\frac{1 - n}{2n}}\).
• \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \left( 4 + \dfrac{1}{n} \right) = 4\) et la fonction racine carrée est continue en \(4\), donc \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_{n} = \sqrt{4} = 2\).
• \(\dfrac{1 - n}{2n} = \dfrac{1}{2n} - \dfrac{1}{2}\) tend vers \(-\dfrac{1}{2}\) et la fonction exponentielle est continue sur \(\mathbb{R}\), donc \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} w_{n} = e^{-\frac{1}{2}}\).
2 – Suites définies par une relation de récurrence
Théorème (du point fixe) : Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\) et \((u_{n})\) une suite telle que, pour tout entier \(n\), \(u_{n} \in I\) et \(u_{n + 1} = f(u_{n})\).
Si \((u_{n})\) converge vers un réel \(\ell\) appartenant à \(I\), alors \(\ell\) est solution de l'équation \(f(x) = x\).
Si \((u_{n})\) converge vers un réel \(\ell\) appartenant à \(I\), alors \(\ell\) est solution de l'équation \(f(x) = x\).
Démonstration
Si \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = \ell\), alors \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n + 1} = \ell\). D'autre part, \(f\) est continue en \(\ell\) donc, d'après la propriété 1, \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} f(u_{n}) = f(\ell)\). Comme \(u_{n + 1} = f(u_{n})\), on obtient par unicité de la limite : \(\ell = f(\ell)\). \(\square\)
Vocabulaire : Un réel \(\ell\) tel que \(f(\ell) = \ell\) est appelé point fixe de \(f\). Graphiquement, c'est l'abscisse d'un point d'intersection de la courbe de \(f\) et de la droite d'équation \(y = x\).
Point de vigilance : ce théorème ne prouve pas que la suite converge. Il faut d'abord établir la convergence (le plus souvent : suite monotone et bornée, fiche A1.2) ; il donne ensuite les valeurs possibles de la limite.
Méthode (étude d'une suite \(u_{n + 1} = f(u_{n})\)) :
1. Montrer par récurrence un encadrement du type \(a \leq u_{n} \leq u_{n + 1} \leq b\), avec les variations de \(f\) sur \([a\ ;\ b]\).
2. En déduire que \((u_{n})\) converge vers un réel \(\ell \in [a\ ;\ b]\) (suite monotone et bornée).
3. Comme \(f\) est continue sur \([a\ ;\ b]\), résoudre \(f(\ell) = \ell\) et ne garder que les solutions appartenant à \([a\ ;\ b]\).
1. Montrer par récurrence un encadrement du type \(a \leq u_{n} \leq u_{n + 1} \leq b\), avec les variations de \(f\) sur \([a\ ;\ b]\).
2. En déduire que \((u_{n})\) converge vers un réel \(\ell \in [a\ ;\ b]\) (suite monotone et bornée).
3. Comme \(f\) est continue sur \([a\ ;\ b]\), résoudre \(f(\ell) = \ell\) et ne garder que les solutions appartenant à \([a\ ;\ b]\).
Remarque : Dans l'exemple 5 de la fiche A1.2 (\(u_{0} = 2\) et \(u_{n + 1} = \dfrac{1 + u_{n}}{2}\)), on savait seulement que \((u_{n})\) converge. La fonction \(x \mapsto \dfrac{1 + x}{2}\) étant continue sur \(\mathbb{R}\), la limite vérifie \(\ell = \dfrac{1 + \ell}{2}\), d'où \(2\ell = \ell + 1\) puis \(\ell = 1\).
Exemple 2 :
Soit \((u_{n})\) la suite définie par \(u_{0} = 0\) et, pour tout entier \(n\), \(u_{n + 1} = \sqrt{u_{n} + 2}\). On pose \(f(x) = \sqrt{x + 2}\).
Construction des premiers termes de la suite \((u_{n})\)
\(u_{0} = 0\) puis \(u_{1} = f(0) = \sqrt{2} \approx 1{,}41\). On utilise la droite \(y = x\) pour placer \(u_{1}\) sur l'axe des abscisses.
Puis \(u_{2} = f(\sqrt{2}) \approx 1{,}85\). De même, on utilise la droite \(y = x\) pour placer \(u_{2}\) sur l'axe des abscisses.
Ainsi de suite, on peut conjecturer que \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = 2\).
2) Montrer que la fonction \(f\) est croissante sur \([0\ ;\ 2]\).
On calcule la dérivée de \(f\) : \(f = \sqrt{u}\) donc \(f' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\). On a donc \(f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x + 2}}\).
\(f'\) est positive sur son ensemble de définition donc \(f\) est croissante sur \([0\ ;\ 2]\).
3) Montrer par récurrence la propriété \(P(n)\) : \(0 \leq u_{n} \leq u_{n + 1} \leq 2\).
• Initialisation : \(u_{0} = 0\) et \(u_{1} = \sqrt{2} \approx 1{,}41\) donc \(0 \leq u_{0} \leq u_{1} \leq 2\).
• Hérédité : supposons que \(0 \leq u_{n} \leq u_{n + 1} \leq 2\) pour un entier \(n\) fixé.
Comme \(f\) est croissante sur \([0\ ;\ 2]\) : \(f(0) \leq f(u_{n}) \leq f(u_{n + 1}) \leq f(2)\), soit \(\sqrt{2} \leq u_{n + 1} \leq u_{n + 2} \leq 2\). Donc \(0 \leq u_{n + 1} \leq u_{n + 2} \leq 2\). On a donc \(P(n + 1)\).
• Conclusion : pour tout entier \(n\), \(0 \leq u_{n} \leq u_{n + 1} \leq 2\).
4) En déduire que la suite \((u_{n})\) converge.
La suite \((u_{n})\) est croissante et majorée par \(2\) : elle converge vers un réel \(\ell\), et \(0 \leq \ell \leq 2\).
5) Déterminer la limite \(\ell\).
\(f\) est continue sur \([0\ ;\ 2]\) et \(\ell \in [0\ ;\ 2]\) donc \(f(\ell) = \ell\), c'est-à-dire \(\sqrt{\ell + 2} = \ell\).
En élevant au carré : \(\ell + 2 = \ell^{2}\), soit \(\ell^{2} - \ell - 2 = 0\).
\(\Delta = 9\) : les solutions sont \(2\) et \(-1\). Comme \(\ell \geq 0\), on conclut : \(\ell = 2\).
