1 – Parité d'une fonction
Définition 1 :
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
• On dit que \(f\) est paire sur \(I\) si pour tout nombre \(x\) de \(I\), \(f(-x) = f(x)\)
• On dit que \(f\) est impaire sur \(I\) si pour tout nombre \(x\) de \(I\), \(f(-x) = -f(x)\)
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
• On dit que \(f\) est paire sur \(I\) si pour tout nombre \(x\) de \(I\), \(f(-x) = f(x)\)
• On dit que \(f\) est impaire sur \(I\) si pour tout nombre \(x\) de \(I\), \(f(-x) = -f(x)\)
Paire
La courbe est symétrique par rapport à
l'axe des ordonnées
La courbe est symétrique par rapport à
l'axe des ordonnées
Impaire
La courbe est symétrique par rapport à
l'origine du repère
La courbe est symétrique par rapport à
l'origine du repère
Exemple 1 :
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2 + 1\)
- Montrer que cette fonction est paire.
\(f(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1 = f(x)\)
Pour tout réel \(x\), on a \(f(-x) = f(x)\) donc \(f\) est paire. - Compléter le tableau de valeur suivant. Que remarque t-on ?
On remarque que l'image d'un nombre et de son opposé son égaux.\(x\) \(-4\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(f(x)\) \(17\) \(10\) \(5\) \(2\) \(1\) \(2\) \(5\) \(10\) \(17\) - Tracer la courbe représentative de la fonction \(f\). Que remarque t-on ?
La courbe de \(f\) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Exemple 2 :
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3 + x\)
- Montrer que cette fonction est impaire
\(f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x = -(x^3 + x) = -f(x)\)
Pour tout réel \(x\), on a \(f(-x) = -f(x)\) donc \(f\) est impaire. - Compléter le tableau de valeur suivant. Que remarque t-on ?
On remarque que l'image de l'opposé est égal à l'opposé de l'image.\(x\) \(-4\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(f(x)\) \(-68\) \(-30\) \(-10\) \(-2\) \(0\) \(2\) \(10\) \(30\) \(68\) - Tracer la courbe représentative de la fonction \(f\). Que remarque t-on ?
La courbe de \(f\) est symétrique par rapport à l'origine du repère.
2 – Périodicité d'une fonction
Définition 2 :
On dit qu'une fonction \(f\) est périodique de période \(T\) si pour tout nombre réel \(x\), on a \(f(x + T) = f(x)\). On dit alors que \(f\) est \(\mathbf{T}\)-périodique.
On dit qu'une fonction \(f\) est périodique de période \(T\) si pour tout nombre réel \(x\), on a \(f(x + T) = f(x)\). On dit alors que \(f\) est \(\mathbf{T}\)-périodique.
Remarques :
- La courbe représentative d'une fonction périodique consiste en une répétition à l'infini d'un même motif.
- La période représente alors la largeur de l'un de ces motifs.
Exemple 3 :
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par la courbe tracée ci-dessous.
• On a par exemple \(f(5) = f(1 + 4) = f(1)\).
Exemple 4 :
Les fonctions trigonométriques \(\cos(x)\) et \(\sin(x)\) sont \(2\pi\)-périodiques.
Remarque : Les fonctions périodiques sont très utilisées en physique pour modéliser les phénomènes ondulatoires (ondes lumineuses, ondes sonores, acoustique, …)
