1 – Sens de variation & Extremums

Définition 1 :
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
• On dit que \(f\) est croissante sur \(I\) si pour tous nombres \(a\) et \(b\) de \(I\) tels que \(a < b\), on a \(f(a) \leq f(b)\)
• On dit que \(f\) est décroissante sur \(I\) si pour tous nombres \(a\) et \(b\) de \(I\) tels que \(a < b\), on a \(f(a) \geq f(b)\)

Fonction croissante
Sa représentation graphique monte

La fonction conserve l'ordre des nombres

Fonction décroissante
Sa représentation graphique descend

La fonction inverse l'ordre des nombres

Remarque : Pour représenter le sens de variation d'une fonction on utilise un tableau de variation.

Définition 2 :
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
• Le maximum de \(f\) sur \(I\) est la plus grande des images sur cet intervalle.
• Le minimum de \(f\) sur \(I\) est la plus petite des images sur cet intervalle.

Maximum
Le maximum est le point le plus haut de la courbe

Minimum
Le minimum est le point le plus bas de la courbe

Exemple 1 :

Soit \(f\) la fonction définie sur \([-5;5]\) par la courbe ci-contre.

Réaliser le tableau de variation de la fonction \(f\).
Déterminer le(s) extremum(s) de la fonction \(f\).
Le maximum de \(f\) est \(3\) atteint en \(x = -2\).
Le minimum de \(f\) est \(-4\) atteint en \(x = 3\).

Exemple 2 :

Soit \(f\) une fonction dont on donne ci-dessous le tableau de variation.

Courbe compatible avec le tableau de variation

a. Déterminer les extremums de la fonction \(f\) sur son ensemble de définition.
Le maximum de \(f\) est \(5\) atteint en \(x = 4\).
Le minimum de \(f\) est \(-2\) atteint en \(x = 2\).

b. Quel est le maximum de \(f\) sur \([-3;2]\) ?
Le maximum de \(f\) sur \([-3;2]\) est \(4\) atteint en \(1\).
A quel intervalle appartient \(f(x)\) lorsque \(x \in [1;2]\)
Si \(x \in [1;2]\) alors \(f(x) \in [-2;4]\)
Tracer une courbe compatible avec son tableau de variation.

Exemple 3 :

On reprend la fonction \(f\) de l'exemple précédent. Utiliser le sens de variation pour comparer les nombres suivants :

\(f(-2{,}9)\) et \(f(-2{,}8)\) : On a \(-2{,}9 < -2{,}8\). Or la fonction \(f\) est croissante sur l'intervalle \([-3;1]\).
Elle conserve donc l'ordre des nombres et on a : \(f(-2{,}9) < f(-2{,}8)\)
\(f(1{,}01)\) et \(f(1{,}1)\) : On a \(1{,}01 < 1{,}1\). Or la fonction \(f\) est décroissante sur l'intervalle \([1;2]\).
Elle inverse donc l'ordre des nombres et on a : \(f(1{,}01) > f(1{,}1)\)

2 – Signe d'une fonction

Définition 3 :
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
• On dit que \(f\) est positive sur \(I\) si pour tout nombre \(x\) de \(I\), \(f(x) \geq 0\)
• On dit que \(f\) est négative sur \(I\) si pour tout nombre \(x\) de \(I\), \(f(x) \leq 0\)
• On dit que \(f\) s'annule en \(x_0\) si \(f(x_0) = 0\)

Signe d'une fonction : zones positive et négative

\(f\) est positive lorsque sa courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.
\(f\) est négative lorsque sa courbe est au-dessous de l'axe des abscisses.
\(f\) s'annule lorsque sa courbe coupe l'axe des abscisses.

Remarque : Pour représenter le signe d'une fonction on utilise un tableau de signe.

Exemple 4 :

Soit \(f\) la fonction définie sur \([-5;5]\) par la courbe ci-dessous.

En quelle valeur la fonction \(f\) s'annule-t-elle ?
\(f\) s'annule en \(x = -4\) et en \(x = 1\).
Quel est le signe de \(f(0)\) ? de \(f(5)\) ?
\(f(0) > 0\) et \(f(5) < 0\)
Réaliser le tableau de signe de la fonction \(f\).

Cours n°2 — Sens de variation, Signe & Extremums

1 – Sens de variation & Extremums

2 – Signe d'une fonction