1 – La notion de fonction
Définition 1 :
Soit \(D\) un ensemble de nombres réels. On appelle fonction de \(D\) dans \(\mathbb{R}\) un procédé mathématique permettant d'associer à tout réel \(x\) de \(D\), un unique réel \(y\), noté \(f(x)\).
Soit \(D\) un ensemble de nombres réels. On appelle fonction de \(D\) dans \(\mathbb{R}\) un procédé mathématique permettant d'associer à tout réel \(x\) de \(D\), un unique réel \(y\), noté \(f(x)\).
La fonction vue comme une « machine »
Vocabulaire :
- On dit que \(y\) est l'image de \(x\).
- On dit que \(x\) est un antécédent de \(y\).
- \(D\) est appelé l'ensemble de définition.
Remarques :
- L'image d'un nombre est unique, mais un nombre peut avoir un, plusieurs, ou aucun antécédent(s).
- Lorsque l'ensemble de définition d'une fonction n'est pas précisé, on convient qu'il s'agit de l'ensemble des nombres \(x\) tel que \(f(x)\) existe.
- Une fonction peut se présenter sous plusieurs formes :
Exemple 1 :
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par la courbe ci-contre.
- Lire graphiquement l'image de 2 par \(f\) :
L'image de 2 par \(f\) est \(-3\) - Déterminer graphiquement le(s) antécédent(s) par \(f\)
- Du nombre \(5\) : \(-2\) et \(4\)
- Du nombre \(-5\) : Aucun antécédent
- Du nombre \(-4\) : \(1\)
- Compléter les égalités suivantes :
a. \(f(4) = \mathbf{5}\)
b. \(f(-1) = \mathbf{0}\)
c. \(f(0) = \mathbf{-3}\)
d. \(f(\mathbf{1}) = -4\)
Exemple 2 :
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 3x - 5\)
- Calculer l'image de \(1\) par \(f\).
Méthode : Pour calculer l'image d'un nombre, on remplace \(x\) par ce nombre dans la formule.
\(f(1) = 3 \times 1 - 5 = -2\).
L'image de \(1\) par \(f\) est \(-2\). - Calculer le(s) antécédent(s) de 1 par \(f\).
Méthode : Pour calculer le(s) antécédent(s) d'un nombre \(k\), on résoud l'équation \(f(x) = k\)
On résoud l'équation \(f(x) = 1\) c'est à dire \(3x - 5 = 1\) donc \(3x = 1 + 5 = 6\) donc \(x = \frac{6}{3} = 2\)
Donc \(1\) admet un seul antécédent par \(f\), le nombre \(2\).
2 – Courbe représentative d'une fonction
Point \(M(x, f(x))\) sur la courbe \(C_f\)
Définition 2 :
Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble \(D\).
La courbe représentative de \(f\), notée \(C_f\), est l'ensemble des points \(M\) qui sont de coordonnées \(M(x, f(x))\) avec \(x \in D\).
Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble \(D\).
La courbe représentative de \(f\), notée \(C_f\), est l'ensemble des points \(M\) qui sont de coordonnées \(M(x, f(x))\) avec \(x \in D\).
Remarques :
- Un point \(M\) appartient donc à la courbe de \(f\) si et seulement si : \(f(x_M) = y_M\).
- Pour tracer la courbe représentative d'une fonction, on peut utiliser la calculatrice.
Exemple 3 :
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2 - 2x - 4\).
- Réaliser un tableau de valeurs de \(f\) entre \(-2\) et \(4\) par pas de \(1\).
\(x\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(f(x)\) \(4\) \(-1\) \(-4\) \(-6\) \(-4\) \(-1\) \(4\) - Tracer dans le repère ci-contre la courbe représentative de \(f\).
- Les points suivants appartiennent-ils à la courbe de \(f\) ?
a. \(A(10 ; 76)\)
\(f(x_A) = f(10) = 10^2 - 2 \times 10 - 4\)
\(= 100 - 20 - 4 = 76 = y_A\)
Donc \(A \in C_f\)
b. \(B(0{,}5 ; -4{,}5)\)
\(f(x_B) = f(0{,}5) = 0{,}5^2 - 2 \times 0{,}5 - 4\)
\(= 0{,}25 - 1 - 4 = -4{,}75 \neq y_B\)
Donc \(B \notin C_f\)
