Exercices n°1 — Fonctions numériques

Parmi les processus suivants lesquels permettent de définir une fonction ?

1. On associe, à chaque altitude (en \(m\)), la pression relevée (en \(Hpa\)) ?
2. On associe à l'âge de chaque élève de la classe sa taille (en \(m\)).
3. On associe, au prix des logements vendu par une agence, la surface de ce logement.
4. On associe, au nombre d'objets produits, le coût de production pour l'entreprise.

On considère la fonction \(f\) qui à chaque chiffre \(n\) associe le nombre de lettres qu'il contient.

1. Donner l'ensemble de définition de \(f\)
2. Compléter le tableau suivant :

   \(n\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)
   \(f(n)\)

3. Quel est l'image de \(4\) ?
4. Quel(s) sont le(s) antécédents de \(4\) par \(f\) ?

Ces courbes définissent-elles des fonctions ?

Donner l'ensemble de définition des fonctions \(f\), \(g\) et \(h\) définies par les 3 courbes ci-dessous.

Soit la fonction \(f\) définie par la courbe ci-dessous.

1. Quel est l'ensemble de définition de \(f\) ?
2. Déterminer l'image par \(f\) des nombres : \(-7\) ; \(0\) ; \(3\) ; \(6\)
3. Compléter : \(f(-2) = \ldots\) et \(f(\ldots) = -2\)
4. Déterminer le(s) antécédent(s) par \(f\) de : \(0\) ; \(2\) ; \(6\)
5. Quels sont les nombres possédant :
   1. exactement 1 antécédent par \(f\).
   2. exactement 3 antécédents par \(f\).

Soit \(C\) la courbe d'une fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([-1;6]\) tel que :

1. \(f(-1) = 3\) et \(f(5) = 6\).
2. L'image de \(3\) par \(f\) est \(1\).
3. \(2\) est un antécédent de \(-1\) par \(f\).
4. \(0\) admet exactement \(2\) antécédents par \(f\).

Tracer une allure possible de la courbe \(C\).

Dans une station météorologique, on a relevé les températures sur une journée de \(24\,h\). On a obtenu la courbe suivante :

1. Déterminer l'ensemble de définition de \(T\).
2. A l'aide du vocabulaire des fonctions, préciser :
   1. La température qu'il faisait à \(21\,h\)
   2. A quelle(s) heure(s) il faisait \(20°C\)

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = x^2 - x - 1\).

1. Calculer l'image par \(f\) des nombres suivants : \(-1\) ; \(\frac{2}{3}\) ; \(10^3\) ; \(1 + \sqrt{2}\)
2. Vérifier que le nombre d'or \(\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) est un antécédent de \(0\) par \(f\).

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par le programme de calcul suivant :

On choisit un nombre.
On lui ajoute 3.
On multiplie le résultat par 2.
On soustrait 5.
On met le résultat au carré.
On soustrait 4.

1. Déterminer mentalement l'image de \(2\) par \(f\).
2. Déterminer mentalement le(s) antécédent(s) de \(32\) par \(f\).
3. Déterminer la formule de la fonction \(f\)

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x) = \frac{2x - 5}{3} + 1\]

1. Ecrire un programme de calcul, qui donne l'image d'un nombre par la fonction \(f\).
2. Utiliser ce programme pour calculer
   1. L'image des nombres \(3\) et \(0{,}25\) par \(f\)
   2. L'antécédent de \(2\) par \(f\).
3. Vérifier les résultats précédents à l'aide de la formule.

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(f(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right)\ldots\left(x - \frac{1}{2018}\right)\)

1. Calculer l'image de \(1\).
2. Combien d'antécédents par \(f\) possède le nombre \(0\) ?

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x) = \frac{1}{x - 1}\) et \(g(x) = \sqrt{x - 2}\).

1. Que se passe-t-il lorsque l'on calcule l'image de \(1\) par \(f\) et par \(g\) ?
2. Déterminer l'ensemble de définition de ces deux fonctions.

La résistance électrique, en ohms, d'un fil de cuivre est donnée par la fonction \(R\) tel que :
\(R(L;S) = 0{,}017\,\frac{L}{S}\)
où \(L\) est la longueur du fil (en \(m\)) et \(S\) la section du fil (en \(mm^2\)).
Compléter le tableau suivant :

On considère la fonction \(f\) définie sur \([-3;3]\) par \(f(x) = x^3 + x^2 - 4x - 4\).

1. Réaliser un tableau de valeurs de \(f\) sur son intervalle de définition avec un pas de \(1\).
2. Dans un repère orthonormé, tracer la courbe représentative de la fonction \(f\).
3. Quel(s) sont les antécédent(s) de \(0\) par \(f\) ?
4. Le point \(M(0{,}5 ; -5{,}625)\) appartient-il à la courbe de \(f\)

Un canon tire un projectile dont la trajectoire est assimilable à la courbe de la fonction \(f\) définie par \(f(x) = -x^2 + 4x\) sur l'intervalle \([0;4]\).

1. Tracer cette trajectoire.
2. Le canon atteindra-t-il sa cible située en \(C(3{,}25 ; 2{,}5)\) ?

La distance d'arrêt \(D\) (en \(m\)) d'un véhicule est fonction de sa vitesse (en \(km/h\)). On a :
\(D(v) = \frac{V}{3{,}6} + \frac{V^2}{254 \times c}\)
où \(c\) est un coefficient de frottement qui vaut :
• \(c = 0{,}8\) sur route sèche.
• \(c = 0{,}4\) sur route mouillée.

1. Calculer la distance d'arrêt (sur route sèche et mouillée) d'un véhicule roulant à \(50\,km/h\) ? à \(90\,km/h\) ?
2. Tracer sur votre calculatrice les courbes représentatives de la fonction donnant la distance d'arrêt sur route sèche et sur route mouillée.
3. En déduire, dans les 2 cas, la vitesse à ne pas dépasser pour s'arrêter en moins de \(50\,m\).
4. Commenter cette phrase : « Plus la vitesse est élevée, plus l'état de la route est important »