Exercices n°2 — Sens de variation, Signe & Extremums

Réaliser le tableau de variation de la fonction \(f\) définie par la courbe donnée :

Soit \(f\) la fonction définie par la courbe suivante :

1. Déterminer l'ensemble de définition de \(f\).
2. Réaliser le tableau de variation de \(f\).
3. Etudier les extremums de la fonction \(f\).

Lors d'un Rallye de formule 1, on a enregistré la vitesse \(v\) de l'automobile (en \(km/h\)) en fonction du temps \(t\) (en \(s\)). On a obtenu la courbe suivante :

1. Représenter l'évolution de la vitesse à l'aide d'un tableau de variation
2. Préciser les valeurs extrémales de sa vitesse.

A partir du tableau de variation de la fonction \(f\), tracer une courbe possible de \(f\). • \(f(-4) = 2\) et \(f(-6) = -1\)
• La courbe de \(f\) coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse \(1\).
• Pour tout nombre \(x < 0\), \(f(x) \geq -2\)

Soit \(f\) une fonction définie sur \(I = [-10;25]\) dont on donne ci-dessous le tableau de variation.

1. Etudier les extremums de \(f\) sur \(I\).
2. Etudier les extremums de \(f\) sur \([-10;11]\).
3. Compléter les inégalités suivantes :
   a. \(\ldots \leq f(-2) \leq \ldots\)
   b. \(\ldots \leq f(2) \leq \ldots\)

Soit \(g\) une fonction définie dont on donne ci-dessous le tableau de variation.

1. Donner l'ensemble de définition de \(g\)
2. Etudier les extremums de la fonction \(g\)
3. Combien \(0\) a-t-il d'antécédent par \(g\) ?
4. Résoudre l'inéquation \(g(x) \geq 2\)
5. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ?
   a. \(g(-3) \geq 0\)
   b. \(g(3) \leq 0\)

Comparer les nombres suivants :
a. \(f(-3)\) et \(f(-1)\)
b. \(f(3{,}001)\) et \(f(3{,}01)\)

Soit \(f\) la fonction définie par la courbe suivante :

1. Comparer les nombres suivants :
   a. \(f\left(\frac{3}{2}\right)\) et \(f\left(\frac{9}{4}\right)\)
   b. \(f(0{,}01)\) et \(f(0{,}1)\)
2. Compléter l'affirmation suivante :
   Si \(x \in [-3;1]\) alors \(f(x) \in\) …………….

a. \(f(1) < f(4)\)
b. \(f(-3) > f(-1)\)
c. \(f(-4) < 5\)
d. Si \(x \in [5;10]\) alors \(f(x) > 0\)
e. Si \(f(2) = 0\) alors \(f\left(\frac{1}{2}\right) < 0\)

On considère une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\). Pour chacune des affirmations suivantes dire si elle est vraie ou fausse. Justifier votre réponse :
a. Si la fonction \(f\) est croissante sur \([0;2]\) alors \(f\) est croissante sur \([0;1]\)
b. Si \(f\) est croissante sur \([0;2]\) alors \(f(0{,}5) \geq f(1)\)
c. Si \(f(0) < f(1)\) alors \(f\) est croissante sur \([0;1]\).
d. Si \(f\) a un maximum en \(1\) sur \([0;1]\) alors \(f\) est croissante sur \([0;1]\)
e. Si \(f\) n'est pas croissante sur \([0;1]\) alors \(f\) est décroissante sur \([0;1]\)

Vrai ou Faux ? Justifier votre réponse.
a. Pour tout nombre \(x \in [-2;3]\), \(f(x) \geq 0\)
b. Pour tout nombre \(x \in [-2;3]\), \(f(x) \leq 3\)
c. Il existe un nombre \(x \in [-2;3]\) tel que : \(f(x) < 0\)
d. Il existe un nombre \(x \in [-2;3]\) tel que : \(f(x) = -2\)
e. Pour tout nombre \(x \in [-2;3]\), \(f(x) \leq f(1)\)

On considère quatre fonctions \(f\), \(g\), \(h\) et \(k\) définies par les courbes ci-dessous.

1. Réaliser le tableau de signe de \(f\), \(g\), \(h\) et \(k\)
2. Résoudre les inéquations suivantes :
   a. \(f(x) \leq 0\)
   b. \(g(x) > 0\)
   c. \(h(x) \leq 0\)
   d. \(k(x) > 0\)

1) Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) dont le tableau de variation est donné ci-dessous :

1. Quel est le signe de \(f\) sur \(]-\infty;8]\) ?
2. Si \(x \geq 22\), quel est le signe de \(f\) ?
3. Construire le tableau de signe de \(f\)

2) A partir des tableaux de variation ci-dessous, réaliser le tableau de signe des fonctions \(g\) et \(h\). 3) Résoudre les inéquations suivantes :
a. \(f(x) > 0\)
b. \(g(x) \leq 0\)
c. \(h(x) \leq 0\)
d. \(f(x) \geq 0\)

A partir du tableau de signe ci-dessous, tracer une courbe possible pour la fonction \(f\).