Exercices n°3 — Problèmes d'optimisation

Dans le repère orthonormé ci-dessous, on a tracé le demi-cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(O\) (l'origine du repère) et de rayon \(4\). Le point \(A\) a pour coordonnées \(A(0;5)\). \(M\) est le point « variable » d'abscisse \(x\) du demi-cercle \(\mathcal{C}\) avec \(-4 \leq x \leq 4\). On définit alors une fonction \(f\) en posant \(f(x) = AM\). Réaliser le tableau de variation de la fonction \(f\).

Dans un hangar de forme semi-circulaire de \(10\,m\) de long, on souhaite intégrer une pièce de forme rectangulaire de volume maximal. Pour cela, on a représenté sur la figure suivante, une vue de face du hangar : \(ABCD\) est un rectangle inscrit dans le demi-cercle de centre \(O\) et de rayon \(6\,m\). Ses côtés ont des longueurs variables et on note \(x\) la longueur \(AB\).
On note alors \(A(x)\) l'aire du rectangle \(ABCD\).

1. a. Dans quel intervalle varie \(x\) ?
   b. Justifier que \(OA^2 + x^2 = 36\)
   c. En déduire l'expression de \(OA\) puis de \(AD\) en fonction de \(x\)
   d. Exprimer \(A(x)\) en fonction de \(x\).
2. a. A l'aide de la calculatrice, tracer la courbe représentative de la fonction \(A\). On pourra utiliser la fenêtre suivante :
   \(Xmin = 0\) ; \(Xmax = 6\) ; \(Ymin = 0\) ; \(Ymax = 50\)
   b. A l'aide de la fonction \(TRACE\), lire le maximum de la fonction \(A\) ainsi que la valeur en laquelle il est atteint
3. Conclure sur les dimensions de la pièce permettant d'obtenir un volume maximal.

La problématique de l'exercice est la suivante :
A l'aide d'un simple feuille A4, comment construire une boîte sans couvercle (voir Figure 1) de volume maximal ? Le patron d'une telle boîte est obtenu en découpant \(4\) coins de même dimension sur la feuille A4 (voir Figure 2). En fonction de la taille \(x\) du coin découpé on obtiendra une boîte de volume différent.

1. On note \(V(x)\) le volume de la boîte obtenue en découpant un coin de \(x\) cm.
   1. Calculer \(V(1)\) et \(V(5)\).
   2. Quel est l'ensemble de définition de la fonction \(V\) ?
   3. Exprimer \(V(x)\) en fonction de \(x\) puis montrer que \[V(x) = 4x^3 - 101{,}4x^2 + 623{,}7x\]
2. A l'aide de la calculatrice, tracer la courbe représentative de la fonction \(V\). On pourra utiliser la fenêtre suivante :
   \(Xmin = 0\) ; \(Xmax = 12\) ; \(Ymin = 0\) ; \(Ymax = 1500\)
   
3. A l'aide de la fonction \(TRACE\), lire le maximum de la fonction \(V\) ainsi que la valeur en laquelle il est atteint.
4. a. Conclure sur les dimensions de la boîte, permettant d'obtenir un volume maximal.
   b. Est-il possible de construire une boîte d'exactement \(1L\) ?

\(ABCD\) est un carré de côté \(5\) cm. \(E\) est un point du segment \([AD]\). G est le point du segment \([AB]\) tel que \(AE = AG\). La parallèle à \((AB)\) passant par \(E\) coupe \([BC]\) en \(F\). La parallèle à \((AD)\) passant par \(G\) coupe \([DC]\) en \(H\). \((GH)\) et \((EF)\) se coupent en \(I\). On va étudier l'aire (notée \(A(x)\)) de la partie hachurée lorsque \(E\) se déplace sur \([AD]\). On pose \(AE = x\).

1. a. Quelles sont les valeurs possibles de \(x\) ?
   b. Exprimer en fonction de \(x\) la longueur \(IH\).
   c. Calculer l'aire de la partie hachurée et vérifier que l'aire hachurée s'exprime par \[A(x) = 2x^2 - 10x + 25\]
2. a. Compléter à l'aide la calculatrice le tableau de valeurs suivant :
   
   b. Dans le repère ci-dessous, tracer la courbe représentative de la fonction \(A\).
   
3. a. Pour quelle valeur de \(x\) l'aire est-elle minimale ? Combien vaut cette aire minimale ?
   b. Construire la figure pour cette valeur.

Une entreprise produit de la farine de blé, \(x\) est le nombre de tonnes fabriquées avec \(0 \leq x \leq 60\).
Le prix de vente d'une tonne de farine est 120 €. Le coût de production de la fabrication de \(x\) tonnes de farine, exprimé en euros, est donné par \(C(x) = 2x^2 + 10x + 900\). Le graphique ci-dessous donne la courbe représentant le coût de production et celle représentant la recette.

1. Déterminer graphiquement puis par le calcul le bénéfice réalisé pour \(30\,T\) de farine produites.
2. a. Exprimer, en fonction de \(x\), la recette \(R(x)\) de l'entreprise pour \(x\) tonnes vendues.
   b. En déduire, en fonction de \(x\), le bénéfice \(B(x)\) de l'entreprise pour \(x\) tonnes vendues.
3. a. A l'aide de la calculatrice compléter les tableaux de valeurs suivants :

   \(x\)	\(0\)	\(10\)	\(20\)	\(30\)	\(40\)	\(50\)	\(60\)
   \(B(x)\)

   \(x\)	\(20\)	\(22{,}5\)	\(25\)	\(27{,}5\)	\(30\)
   \(B(x)\)

   b. Dans le repère suivant, tracer la courbe représentative de la fonction \(B\).
   
4. A l'aide du graphique précédent déterminer
   1. la quantité de farine à produire pour que l'activité de l'entreprise soit rentable.
   2. la quantité de farine à produire pour que le bénéfice de l'entreprise soit maximal.
   3. La valeur de ce bénéfice maximal.
5. Retrouver ces résultats avec le 1^er graphique.