Exercices n°4 — Parité & Périodicité

Parmi les courbes ci-dessous, préciser quelle(s) sont celles qui correspondent à des fonctions paires ou impaires.

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 4 - x^2\).

1. Montrer que la fonction \(f\) est paire
2. Comparer \(f(50)\) et \(f(-50)\)
3. Sans faire de calcul, compléter le tableau de valeurs de la fonction \(f\).

   \(x\)	\(-9\)	\(-6\)	\(-3\)	\(0\)	\(3\)	\(6\)	\(9\)
   \(f(x)\)	\(-77\)			\(4\)	\(-5\)	\(-32\)

4. Compléter le tracé de courbe de \(f\).
   

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3 - x\).

1. Montrer que la fonction \(f\) est impaire
2. Comparer \(f(20)\) et \(f(-20)\)
3. Sans faire de calcul, compléter le tableau de valeurs de la fonction \(f\).

   \(x\)	\(-8\)	\(-4\)	\(-2\)	\(0\)	\(2\)	\(4\)	\(8\)
   \(f(x)\)		\(-68\)			\(6\)		\(520\)

4. Compléter le tracé de courbe de \(f\).
   

Parmi les fonctions suivantes lesquelles sont paires ou impaires ?
a. \(f(x) = 2x^2 - 1\)
b. \(f(x) = x^3 - 2x\)
c. \(f(x) = 4x\)
d. \(f(x) = 5\)
e. \(f(x) = \frac{1}{2 - x}\) avec \(x \neq 2\)
f. \(f(x) = 2x + 5\)
g. \(f(x) = (1 - x)(1 + x)\)
h. \(f(x) = x^2 + x\)

Déterminer la parité des fonctions \(f(x) = x^n\) (où \(n\) est un entier) selon les valeurs de \(n\).

Compléter les tableaux suivants :

1. \(f\) est une fonction paire définie sur \([-4;4]\)
   
2. \(f\) est une fonction impaire définie sur \([-3;3]\)
   
3. \(f\) est une fonction paire définie sur \(\mathbb{R}\)
   
4. \(f\) est une fonction impaire définie sur \(\mathbb{R}\)
   

Parmi les courbes ci-dessous, préciser quelle(s) sont celles qui correspondent à des fonctions périodiques et le cas échéant préciser la période.

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) de la façon suivante :
● \(f\) est définie par \(f(x) = -x^2 + 4x\) sur \([0;4]\)
● \(f\) est \(4\)-périodique.

On a tracé ci-dessous un « motif » de la courbe représentative de \(f\).

1. Tracer la courbe représentative de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([-12;12]\)
2. Déterminer les images suivantes :
   1. \(f(2)\)
   2. \(f(-2)\)
   3. \(f(10)\)
   4. \(f(50)\)
   5. \(f(-100)\)
   6. \(f(389)\)
   7. \(f(-222)\)
3. Réaliser le tableau de variation de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([-8;8]\).

Compléter les courbes ci-dessous :

1. En bleu sachant que les fonctions sont paires
2. En rouge sachant que les fonctions sont impaires
3. En vert sachant que les fonctions sont périodiques