1 – La notion d'équation / inéquation
Définition 1 :
Une équation est une égalité comportant un nombre inconnu, noté le plus souvent \(x\).
Résoudre une équation c'est trouver toutes les valeurs de \(x\) qui vérifient l'égalité. Chacune de ces valeurs est appelée une solution de l'équation.
De même, une inéquation est une inégalité comportant un nombre inconnu.
Une équation est une égalité comportant un nombre inconnu, noté le plus souvent \(x\).
Résoudre une équation c'est trouver toutes les valeurs de \(x\) qui vérifient l'égalité. Chacune de ces valeurs est appelée une solution de l'équation.
De même, une inéquation est une inégalité comportant un nombre inconnu.
Remarques :
- Une équation peut avoir une, plusieurs, ou aucune solution.
- L'ensemble des solutions d'une équation ou d'une inéquation est noté \(S\).
Exemple 1 :
- \(x^2 = 2x\) est une équation d'inconnue \(x\).
\(x = 0\) est une solution car \(0^2 = 2 \times 0 = 0\).
\(x = 2\) est aussi une solution car \(2^2 = 2 \times 2 = 4\).
En revanche, \(x = 3\) n'est pas une solution car \(3^2 = 9 \neq 2 \times 3 = 6\). - \(t - 5 \geq 0\) est une inéquation d'inconnue \(t\).
\(t = 7\) est une solution car \(7 - 5 = 2 \geq 0\).
\(t = 3\) n'est pas une solution car \(3 - 5 = -2 < 0\).
2 – Résolution d'une équation
Définition 2 :
Deux équations sont dites équivalentes lorsqu'elles ont les mêmes solutions.
Deux équations sont dites équivalentes lorsqu'elles ont les mêmes solutions.
Propriété 1 :
On ne change pas les solutions d'une équation lorsque :
• On ajoute (ou on soustrait) un même nombre aux deux membres.
• On multiplie (ou on divise) les deux membres par un même nombre non nul.
On ne change pas les solutions d'une équation lorsque :
• On ajoute (ou on soustrait) un même nombre aux deux membres.
• On multiplie (ou on divise) les deux membres par un même nombre non nul.
Il n'est pas possible de « multiplier ou diviser par 0 » une équation.
Autrement dit, une équation fonctionne comme une balance : tant que l'on fait la même opération des deux côtés, l'équilibre est conservé.
Illustration :
\[\begin{aligned}
3x + 8 &= 26 \\
3x + 8 - 8 &= 26 - 8 \\
3x &= 18 \\
\frac{3x}{3} &= \frac{18}{3} \\
x &= 6
\end{aligned}\]
Méthode : Pour résoudre une équation du premier degré, on isole l'inconnue \(x\) d'un côté de l'égalité en effectuant des opérations identiques de chaque côté.
Exemple 2 :
Résoudre les équations suivantes :
- \(5x - 3 = 2x + 9\)
\(5x - 3 - 2x = 2x + 9 - 2x\)
\(3x - 3 = 9\)
\(3x = 9 + 3 = 12\)
\(x = \dfrac{12}{3} = 4\)
Donc \(S = \{4\}\) - \(7 - 4x = 2x - 5\)
\(7 - 4x - 2x = -5\)
\(7 - 6x = -5\)
\(-6x = -5 - 7 = -12\)
\(x = \dfrac{-12}{-6} = 2\)
Donc \(S = \{2\}\) - \(\dfrac{x}{3} + 1 = \dfrac{x}{2} - 2\)
On multiplie par 6 : \(2x + 6 = 3x - 12\)
\(2x - 3x = -12 - 6\)
\(-x = -18\)
\(x = 18\)
Donc \(S = \{18\}\) - \(3(x - 2) = 5x + 4\)
\(3x - 6 = 5x + 4\)
\(3x - 5x = 4 + 6\)
\(-2x = 10\)
\(x = \dfrac{10}{-2} = -5\)
Donc \(S = \{-5\}\)
3 – Résolution d'une inéquation
Propriété 2 :
On ne change pas les solutions d'une inéquation lorsque :
• On ajoute (ou on soustrait) un même nombre aux deux membres.
• On multiplie (ou on divise) les deux membres par un même nombre strictement positif.
• On multiplie (ou on divise) les deux membres par un même nombre strictement négatif, à condition d'inverser le sens de l'inégalité.
On ne change pas les solutions d'une inéquation lorsque :
• On ajoute (ou on soustrait) un même nombre aux deux membres.
• On multiplie (ou on divise) les deux membres par un même nombre strictement positif.
• On multiplie (ou on divise) les deux membres par un même nombre strictement négatif, à condition d'inverser le sens de l'inégalité.
Exemples :
- \(2x < 1\)
On divise par \(2 > 0\) :
\(x < \dfrac{1}{2}\)
(le sens est conservé) - \(-2x < 6\)
On divise par \(-2 < 0\) :
\(x > \dfrac{6}{-2}\) soit \(x > -3\)
(le sens est inversé)
Exemple 3 :
Résoudre les inéquations suivantes :
- \(2x - 5 \geq 0\)
\(2x \geq 5\)
\(x \geq \dfrac{5}{2}\)
Donc \(S = \left[\dfrac{5}{2}\;;\;+\infty\right[\) - \(-4x + 6 < 0\)
\(-4x < -6\)
On divise par \(-4 < 0\) donc on inverse le sens :
\(x > \dfrac{-6}{-4}\)
\(x > \dfrac{3}{2}\)
Donc \(S = \left]\dfrac{3}{2}\;;\;+\infty\right[\)
