Exercices n°1 — Résolution algébrique

Résolution algébrique

Exercice 1 : Equation 1
Résoudre les équations suivantes :
  1. \(x + 2 = 0\)
  2. \(5 - x = 0\)
  3. \(2x - 6 = 0\)
  4. \(3x + 5 = 0\)
  5. \(10x - 8 = 4\)
  6. \(\dfrac{1}{2}x + 1 = -1\)
Correction — Exercice 1
  1. \(x + 2 = 0 \Longleftrightarrow x = -2\)
  2. \(5 - x = 0 \Longleftrightarrow x = 5\)
  3. \(2x - 6 = 0 \Longleftrightarrow 2x = 6\)
    \(\Longleftrightarrow x = \dfrac{6}{2} = 3\)
  4. \(3x + 5 = 0 \Longleftrightarrow 3x = -5\)
    \(\Longleftrightarrow x = -\dfrac{5}{3}\)
  5. \(10x - 8 = 4 \Longleftrightarrow 10x = 12\)
    \(\Longleftrightarrow x = \dfrac{12}{10} = 1{,}2\)
  6. \(\dfrac{1}{2}x + 1 = -1 \Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}x = -2\)
    \(\Longleftrightarrow x = -2 \times 2 = -4\)
Exercice 2 : Equation 2
Résoudre les équations suivantes :
  1. \(\dfrac{2 - 3x}{5} = 2\)
  2. \(4x - 4 = 2 - 5x\)
  3. \(-\dfrac{2}{3}x - 5 = x + 1\)
  4. \(11x - (x + 1) = x - 1\)
  5. \(3x - (5x + 7) = 2x - 3\)
  6. \((x + 2)^2 - (x - 1)^2 = 0\)
Correction — Exercice 2
  1. \(\dfrac{2 - 3x}{5} = 2\)
    \((\times 5) \quad 2 - 3x = 10\)
    \((-2) \quad -3x = 8\)
    \((\div -3) \quad x = -\dfrac{8}{3}\)
  2. \(4x - 4 = 2 - 5x\)
    \(4x + 5x = 2 + 4\)
    \(9x = 6\)
    \(x = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\)
  3. \(-\dfrac{2}{3}x - 5 = x + 1\)
    \(-\dfrac{2}{3}x - x = 1 + 5\)
    \(-\dfrac{2}{3}x - \dfrac{3}{3}x = 6\)
    \(-\dfrac{5}{3}x = 6 \quad (\times 3)\)
    \(-5x = 18 \quad (\div -5)\)
    \(x = -\dfrac{18}{5} = -3{,}6\)
  4. \(11x - (x + 1) = x - 1\)
    \(11x - x - 1 = x - 1\)
    \(10x - x = -1 + 1\)
    \(9x = 0\)
    \(x = 0\)
  5. \(3x - (5x + 7) = 2x - 3\)
    \(3x - 5x - 7 = 2x - 3\)
    \(-2x - 7 = 2x - 3\)
    \(-2x - 2x = -3 + 7\)
    \(-4x = 4\)
    \(x = -\dfrac{4}{4} = -1\)
  6. \((x + 2)^2 - (x - 1)^2 = 0\)
    \((x^2 + 4x + 4)\)
    \(- (x^2 - 2x + 1) = 0\)
    \(x^2 + 4x + 4\)
    \(- x^2 + 2x - 1 = 0\)
    \(6x + 3 = 0\)
    \(6x = -3\)
    \(x = -\dfrac{3}{6} = -0{,}5\)
Exercice 3 : Inéquation
Résoudre les inéquations suivantes :
  1. \(3x + 9 > 0\)
  2. \(2x - 3 \leq 5\)
  3. \(-5x + 10 \leq 0\)
  4. \(3 - 2x < 7\)
  5. \(4x - 5 > 10 - 6x\)
  6. \(2{,}5x + 3{,}7 \leq 1{,}8 + 4{,}2x\)
  7. \(\dfrac{3 - 2x}{3} < 4\)
Correction — Exercice 3
  1. \(3x + 9 > 0 \quad (-9)\)
    \(3x > -9 \quad (\div 3)\)
    \(x > -\dfrac{9}{3} = -3\)
    \(S = ]-3\,; +\infty[\)
  2. \(2x - 3 \leq 5 \quad (+3)\)
    \(2x \leq 8 \quad (\div 2)\)
    \(x \leq \dfrac{8}{2} = 4\)
    \(S = ]-\infty\,; 4]\)
  3. \(-5x + 10 \leq 0 \quad (-10)\)
    \(-5x \leq -10 \quad (\div -5)\)
    \(x \geq \dfrac{-10}{-5} = 2\)
    \(S = [2\,; +\infty[\)
  4. \(3 - 2x < 7 \quad (-3)\)
    \(-2x < 4 \quad (\div -2)\)
    \(x > \dfrac{4}{-2} = -2\)
    \(S = ]-2\,; +\infty[\)
  5. \(4x - 5 > 10 - 6x\)
    \(4x + 6x > 10 + 5\)
    \(10x > 15 \quad (\div 10)\)
    \(x > \dfrac{15}{10} = 1{,}5\)
    \(S = ]1{,}5\,; +\infty[\)
  6. \(2{,}5x + 3{,}7 \leq 1{,}8 + 4{,}2x\)
    \(2{,}5x - 4{,}2x\)
    \(\leq 1{,}8 - 3{,}7\)
    \(-1{,}7x \leq -1{,}9\)
    \((\div -1{,}7)\)
    \(x \geq \dfrac{1{,}9}{1{,}7} = \dfrac{19}{17}\)
    \(S = \left[\dfrac{19}{17}\,; +\infty\right[\)
  7. \(\dfrac{3 - 2x}{3} < 4 \quad (\times 3)\)
    \(3 - 2x < 12 \quad (-3)\)
    \(-2x < 9 \quad (\div -2)\)
    \(x > -\dfrac{9}{2} = -4{,}5\)
    \(S = ]-4{,}5\,; +\infty[\)
Exercice 4 : Solution
Vérifier que \(0\), \(1\) et \(2\) sont solutions de l'équation : \[x^3 - 3x^2 + 2x = 0\]
Correction — Exercice 4 On considère l'équation \((E) : x^3 - 3x^2 + 2x = 0\).

• \(0^3 - 3 \times 0^2 + 2 \times 0 = 0\)
donc \(0\) est solution de \((E)\).

• \(1^3 - 3 \times 1^2 + 2 \times 1\)
\(= 1 - 3 + 2 = 0\)
donc \(1\) est solution de \((E)\).

• \(2^3 - 3 \times 2^2 + 2 \times 2\)
\(= 8 - 12 + 4 = 0\)
donc \(2\) est solution de \((E)\).
Exercice 5 : Solution
Proposer une équation :
  1. qui n'admet aucune solution.
  2. qui admet plusieurs solutions.
Exercice 6 : Calcul mental
Résoudre mentalement les équations suivantes :
  1. \(x + 7 = 10\)
  2. \(3x = 12\)
  3. \(2x - 1 = 5\)
  4. \(5x + 3 = 18\)
  5. \(\dfrac{x}{4} = 3\)
  6. \(x^2 = 9\)

Problèmes

Exercice 7 : Taxi
Un taxi facture une prise en charge de 5 € puis 1,50 € par kilomètre parcouru. Un client dispose d'un billet de 50 €.
  1. Exprimer le prix de la course en fonction du nombre de kilomètres \(x\) parcourus.
  2. Quelle distance maximale le client peut-il parcourir ?
Correction — Exercice 7 Soit \(x\) la distance parcourue en km.

1. Le prix de la course vaut \(5 + 1{,}5x\) euros.

2. On résout l'équation : \[5 + 1{,}5x = 50\] \[1{,}5x = 50 - 5 = 45\] \[x = \dfrac{45}{1{,}5} = 30\] On peut donc parcourir \(30\,km\).
Exercice 8 : Devinette
Trouver trois nombres entiers consécutifs dont la somme vaut \(106\,668\).
Correction — Exercice 8 Soit \(x\) le premier nombre.
Les trois nombres entiers consécutifs sont alors : \(x\), \(x + 1\) et \(x + 2\).

Lorsqu'on les additionne on trouve \(106\,668\). On résout donc l'équation : \[x + (x + 1) + (x + 2) = 106\,668\] \[3x + 3 = 106\,668\] \[3x = 106\,665 \quad (-3)\] \[x = \dfrac{106\,665}{3} = 35\,555 \quad (\div 3)\] Les trois nombres sont donc \(35\,555\), \(35\,556\) et \(35\,557\).
Exercice 9 : Age
Une mère a \(30\) ans et sa fille a \(4\) ans. Dans combien d'années l'âge de la mère sera-t-il le triple de l'âge de sa fille ?
Correction — Exercice 9 Une mère a \(30\) ans et sa fille en a \(4\).
Soit \(x\) le nombre d'années qu'il faut attendre.
Dans \(x\) ans, la mère aura \(30 + x\) ans et la fille \(4 + x\) ans.

La mère doit être trois fois plus âgée. Donc on résout : \[30 + x = 3 \times (4 + x)\] \[30 + x = 12 + 3x\] \[30 - 12 = 3x - x\] \[18 = 2x\] \[x = 9\] Il faut attendre \(9\) ans, pour que l'âge de la mère soit le triple de celui de sa fille.
Elles auront respectivement \(30 + 9 = 39\) ans et \(4 + 9 = 13\) ans.
On a bien \(39 = 3 \times 13\).
Exercice 10 : Moyenne
Thomas a obtenu les notes de \(11\) et \(16\) lors de deux devoirs surveillés. Le dernier DS de l'année est coefficient \(2\). Quelle note minimale doit-il obtenir à ce dernier DS pour avoir une moyenne d'au moins \(15\) ?
Correction — Exercice 10 Soit \(x\) la note obtenue au DS final coefficient \(2\).
On a l'équation suivante : \[\dfrac{11 + 16 + 2 \times x}{1 + 1 + 2} = 15\] \[\dfrac{27 + 2x}{4} = 15 \quad (\times 4)\] \[27 + 2x = 60 \quad (-27)\] \[2x = 33 \quad (\div 2)\] \[x = \dfrac{33}{2} = 16{,}5\] Il doit obtenir \(16{,}5/20\) au dernier DS.
Exercice 11 : Carré
Un terrain carré a une certaine longueur de côté. Si on augmente un côté de \(5\,m\) et qu'on diminue l'autre de \(3\,m\), on obtient un rectangle de même aire que le carré initial. Quelle est la longueur du côté du carré ?
Correction — Exercice 11 Soit \(x\) le côté du carré.
On sait que le rectangle aura pour dimensions :
Longueur : \(L = x + 5\)
Largeur : \(l = x - 3\)

L'aire du carré vaut \(x \times x = x^2\).
L'aire du rectangle vaut :
\(L \times l = (x + 5)(x - 3)\).

On résout donc l'équation : \[x^2 = (x + 5)(x - 3)\] \[x^2 = x^2 + 5x - 3x - 15\] \[x^2 = x^2 + 2x - 15\] \[0 = 2x - 15\] \[15 = 2x\] \[x = 7{,}5\] Le côté du carré doit mesurer \(7{,}5\,m\).

Vérification :
L'aire du carré sera de \(7{,}5^2 = 56{,}25\,m^2\).
Le rectangle aura pour dimensions :
\(L = 7{,}5 + 5 = 12{,}5\,m\)
\(l = 7{,}5 - 3 = 4{,}5\,m\)
Son aire sera donc bien de :
\(12{,}5 \times 4{,}5 = 56{,}25\,m^2\).
Exercice 12 : Réservoir
Le réservoir d'une voiture contient \(54\,L\) d'essence. La voiture consomme \(7\,L\) aux \(100\,km\). Le voyant de réserve s'allume lorsqu'il reste \(5\,L\) dans le réservoir. Après combien de kilomètres le voyant de réserve s'allume-t-il ?
Correction — Exercice 12 Soit \(d\) la distance que l'on peut parcourir avant d'être sur la réserve.
On cherche donc la distance que l'on peut parcourir avec \(54 - 5 = 49\,L\).

\[7\,L \longleftrightarrow 100\,km\] \[49\,L \longleftrightarrow d\,km\] Le produit en croix permet d'écrire : \[7 \times d = 49 \times 100\] \[d = \dfrac{49 \times 100}{7} = 700\,km\] On peut donc parcourir \(700\,km\).
Exercice 13 : Photocopie
Pour faire des photocopies, on a le choix entre deux formules :
  • Formule A : 0,05 € par copie.
  • Formule B : un abonnement de 10 € puis 0,02 € par copie.
  1. Exprimer le prix de chaque formule en fonction du nombre \(x\) de photocopies.
  2. A partir de combien de photocopies la formule B est-elle plus avantageuse ?
Correction — Exercice 13 Soit \(x\) le nombre de photocopies.

1. Pour \(x\) photocopies on paye :
• Avec abonnement (Formule B) : \(10 + 0{,}02x\) euros
• Sans abonnement (Formule A) : \(0{,}05x\) euros

2. On cherche \(x\) tel que Formule B \(<\) Formule A : \[10 + 0{,}02x < 0{,}05x\] \[10 < 0{,}05x - 0{,}02x\] \[10 < 0{,}03x \quad (\div 0{,}03)\] \[\dfrac{10}{0{,}03} < x\] C'est-à-dire \(x > 333{,}33\ldots\)
Donc à partir de \(334\) photocopies, il est plus intéressant de prendre l'abonnement.
Exercice 14 : Ficelle
On dispose d'une ficelle de \(20\,m\). On souhaite former un rectangle avec cette ficelle. Quelles dimensions doit avoir ce rectangle pour que sa surface soit maximale ?
Exercice 15 : Imaginer un problème
Proposer un énoncé de problème concret dont la résolution conduit à l'équation : \[8x + 20 = 100\]

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