Exercice 1 : Equation
Soit \(f\) la fonction définie par la courbe ci-dessous.
- \(f(x) = 3\)
- \(f(x) = 1\)
- \(f(x) = -1\)
- \(f(x) = 5\)
Correction — Exercice 1
- \(S = \{6\}\)
- \(S = \{-5\,; 4\}\)
- \(S = \{-3\,; 1\,; 3\}\)
- \(S = \varnothing\)
Exercice 2 : Inéquation
Soit \(f\) la fonction définie par la courbe ci-dessous.
- \(f(x) \geq -1\)
- \(f(x) > 0\)
- \(f(x) \leq 1\)
- \(-1 \leq f(x) \leq 0\)
Correction — Exercice 2
b. \(S = ]-2\,; 1[\)
c. \(S = [-4\,; -1] \cup [1\,; 2]\)
d. \(S = [-2\,; -1] \cup \left[\dfrac{1}{2}\,; 1\right]\)
Exercice 3 : Avec 2 courbes
On considère deux fonctions \(f\) et \(g\) dont les courbes représentatives sont données ci-dessous.
- \(f(x) \leq 0\)
- \(g(x) < 2\)
- \(f(x) = g(x)\)
- \(f(x) < g(x)\)
- \(f(x) \geq g(x)\)
- \(f(x) > g(x)\)
Correction — Exercice 3
b. \(S = ]-\infty\,; -3[\,\cup\,]1\,; +\infty[\)
c. \(S = \{-2\,; 2\}\)
d. \(S = ]-2\,; 2[\)
e. \(S = ]-\infty\,; -2] \cup [2\,; +\infty[\)
f. \(S = ]-\infty\,; -2[\,\cup\,]2\,; +\infty[\)
Exercice 4 : Calculatrice
À l'aide de la calculatrice, résoudre graphiquement les équations et inéquations suivantes :
- \(x^3 + 4x^2 - 4x - 1 = 0\)
- \(x^2 + 3x - 3 = 1\)
- \(x^2 < x - 2\)
- \(x^3 \geq 10x^2\)
Correction — Exercice 4
a. \(x^3 + 4x^2 - 4x - 1 = 0\)On entre la fonction dans la calculatrice, on trace et on utilise G-Solv / ROOT pour trouver les solutions.
On trouve 3 solutions : \(x = -4{,}79\) ; \(x = -0{,}21\) ou \(x = 1\).
\(S = \{-4{,}79\,; -0{,}21\,; 1\}\)
b. \(x^2 + 3x - 3 = 1\)
On entre la fonction dans Y1 puis le nombre \(1\) dans Y2 et on cherche l'intersection.
On trouve \(x = 1\) donc \(S = \{1\}\)
c. \(x^2 < x - 2\)
On entre \(x^2\) dans Y1 et \(x - 2\) dans Y2 et on cherche quand Y1 est en dessous de Y2.
Pas de solutions : \(S = \varnothing\)
Exercice 5 : Avec 3 courbes
On considère trois fonctions \(f\), \(g\) et \(h\) dont les courbes représentatives \(\mathcal{C}_f\), \(\mathcal{C}_g\) et \(\mathcal{C}_h\) sont données ci-dessous sur l'intervalle \([0\,;8]\).
- \(f(x) \leq g(x)\)
- \(g(x) \leq h(x)\)
- \(f(x) = h(x)\)
- \(f(x) \geq h(x)\)
Correction — Exercice 5
b. \(S = [1\,; 2] \cup [6\,; 8]\)
c. \(S = [1\,; 2]\)
d. \(S = [3\,; 5]\)
e. \(S = [5\,; 6]\)
f. \(S = [2\,; 3]\)
Exercice 6 : Recette, Coût, Bénéfice 1
Une entreprise fabrique \(x\) outils par jour. Les courbes ci-dessous représentent le coût de production \(C(x)\) et la recette \(R(x)\) en fonction du nombre \(x\) d'outils fabriqués.
- Déterminer graphiquement le prix de vente d'un outil.
- Déterminer graphiquement le bénéfice réalisé pour \(100\) outils fabriqués.
- Déterminer graphiquement l'intervalle de rentabilité de l'entreprise, c'est-à-dire les valeurs de \(x\) pour lesquelles le bénéfice est positif.
Correction — Exercice 6
Donc \(20\) outils sont vendus 200 €, donc 1 outil est vendu 20 €.
2. Bénéfice = Recette − Coût
\(R(100) = 1000\)
\(C(100) = 900\)
\(B(100) = 1000 - 900 = 100\) €.
3. L'entreprise est bénéficiaire lorsque \(R(x) > C(x)\), c'est-à-dire quand la courbe \(R\) est au-dessus de \(C\) :
\(S = [20\,; 120]\)
Elle doit fabriquer entre \(20\) et \(120\) outils.
L'entreprise est déficitaire lorsque \(R(x) < C(x)\) :
\(S = [0\,; 20] \cup [120\,; 140]\)
Exercice 7 : Recette, Coût, Bénéfice 2
Une entreprise fabrique des jouets. Pour \(x\) jouets fabriqués, le coût de production est donné par :
\[C(x) = 0{,}002x^2 + 2x + 4000\]
et la recette par :
\[R(x) = 11x\]
- Calculer le bénéfice réalisé pour \(200\) jouets puis pour \(1000\) jouets.
- Montrer que le bénéfice est donné par : \[B(x) = -0{,}002x^2 + 9x - 4000\]
- À l'aide de la calculatrice, tracer la courbe représentative de la fonction \(B\).
- Déterminer graphiquement l'intervalle de rentabilité de l'entreprise.
Correction — Exercice 7
1. Le prix d'un jouet est de 11 € (car \(R(1) = 11\)).Pour 200 jouets :
Recette : \(R(200) = 200 \times 11 = 2200\)
Coût : \(C(200) = 0{,}002 \times 200^2 + 2 \times 200 + 4000 = 4480\)
Bénéfice : \(B(200) = 2200 - 4480 = -2280\)
L'entreprise perd 2 280 € pour 200 jouets.
Pour 1 000 jouets :
\(R(1000) = 1000 \times 11 = 11000\)
\(C(1000) = 0{,}002 \times 1000^2 + 2 \times 1000 + 4000 = 8000\)
\(B(1000) = 11000 - 8000 = 3000\)
L'entreprise gagne 3 000 € pour 1 000 jouets.
2. Pour \(x\) jouets fabriqués :
\(B(x) = R(x) - C(x)\)
\(B(x) = 11x - (0{,}002x^2 + 2x + 4000)\)
\(B(x) = 11x - 0{,}002x^2 - 2x - 4000\)
\(B(x) = -0{,}002x^2 + 9x - 4000\)
3. On entre la fonction dans la calculatrice et on trace :
4. On résout \(B(x) \geqslant 0\). On utilise G-SOLV / ROOT :
\(S = [500\,; 4000]\)
L'entreprise doit fabriquer entre 500 et 4 000 jouets pour être bénéficiaire.
