1 – Équation / Inéquation du type f(x) = k, f(x) > k, f(x) < k
Pour résoudre graphiquement une équation ou une inéquation faisant intervenir \(f(x)\) et une constante \(k\) :
- \(f(x) = k\) : on cherche les abscisses des points d'intersection entre la courbe de \(f\) et la droite horizontale \(y = k\).
- \(f(x) > k\) : on cherche les valeurs de \(x\) pour lesquelles la courbe est au-dessus de la droite \(y = k\).
- \(f(x) < k\) : on cherche les valeurs de \(x\) pour lesquelles la courbe est en dessous de la droite \(y = k\).
Méthode :
- Tracer la droite horizontale \(y = k\).
- Repérer les points d'intersection avec la courbe de \(f\).
- Lire les abscisses de ces points pour une équation, ou les intervalles correspondants pour une inéquation.
Exemple 1 :
Soit \(f\) la fonction définie sur \([-4\;;6]\) par la courbe ci-dessous.
- \(f(x) = 3\) : La droite \(y = 3\) coupe la courbe en \(x = -2\) et \(x = 4\).
Donc \(S = \{-2\;;\;4\}\) - \(f(x) = 5\) : La droite \(y = 5\) coupe la courbe en \(x = 6\).
Donc \(S = \{6\}\) - \(f(x) \geq 3\) : La courbe est au-dessus ou sur la droite \(y = 3\) pour \(x \in [-2\;;4]\) et pour \(x = 6\).
Donc \(S = [-2\;;4] \cup \{6\}\) - \(f(x) \leq -1\) : La courbe est en dessous ou sur la droite \(y = -1\) pour \(x \in [-4\;;-3] \cup [5\;;6]\).
Donc \(S = [-4\;;-3] \cup [5\;;6]\) - \(f(x) < 0\) : La courbe est strictement en dessous de l'axe des abscisses (\(y = 0\)) pour \(x \in ]-4\;;-3[\).
Donc \(S = ]-4\;;-3[\) - \(f(x) \leq -2\) : La courbe est en dessous ou sur la droite \(y = -2\).
Donc \(S = \{-4\}\) (ou \(S = \emptyset\) selon la lecture) - \(f(x) > -2\) : La courbe est strictement au-dessus de la droite \(y = -2\) pour \(x \in ]-4\;;6]\).
Donc \(S = ]-4\;;6]\)
2 – Équation / Inéquation du type f(x) = g(x), f(x) > g(x), f(x) < g(x)
Lorsqu'on dispose des courbes de deux fonctions \(f\) et \(g\) :
- \(f(x) = g(x)\) : on cherche les abscisses des points d'intersection des deux courbes.
- \(f(x) > g(x)\) : on cherche les valeurs de \(x\) pour lesquelles la courbe de \(f\) est au-dessus de celle de \(g\).
- \(f(x) < g(x)\) : on cherche les valeurs de \(x\) pour lesquelles la courbe de \(f\) est en dessous de celle de \(g\).
Exemple 2 :
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \([-4\;;6]\) dont les courbes sont représentées ci-dessous.
- \(f(x) = g(x)\) : Les deux courbes se coupent en \(x = -1\) et \(x = 3\).
Donc \(S = \{-1\;;\;3\}\) - \(f(x) \leq g(x)\) : La courbe de \(f\) est en dessous ou sur la courbe de \(g\) pour \(x \in [-1\;;3]\).
Donc \(S = [-1\;;3]\) - \(f(x) \geq g(x)\) : La courbe de \(f\) est au-dessus ou sur la courbe de \(g\) pour \(x \in [-4\;;-1] \cup [3\;;6]\).
Donc \(S = [-4\;;-1] \cup [3\;;6]\) - \(f(x) < g(x)\) : La courbe de \(f\) est strictement en dessous de la courbe de \(g\) pour \(x \in ]-1\;;3[\).
Donc \(S = ]-1\;;3[\)
