1 – Système linéaire
Définition 1 :
Un système linéaire de deux équations à deux inconnues est de la forme : \[\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}\] où \(a\), \(b\), \(c\), \(a'\), \(b'\), \(c'\) sont des nombres réels donnés, et \(x\), \(y\) sont les inconnues.
Résoudre un système c'est trouver tous les couples \((x\;;y)\) qui vérifient simultanément les deux équations.
Un système linéaire de deux équations à deux inconnues est de la forme : \[\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}\] où \(a\), \(b\), \(c\), \(a'\), \(b'\), \(c'\) sont des nombres réels donnés, et \(x\), \(y\) sont les inconnues.
Résoudre un système c'est trouver tous les couples \((x\;;y)\) qui vérifient simultanément les deux équations.
Remarque : Un système linéaire peut avoir une seule solution, aucune solution, ou une infinité de solutions.
Exemple 1 :
Le couple \((-2\;;5)\) est-il solution du système \(\begin{cases} -x + y = 7 \\ 2x + 3y = 11 \end{cases}\) ?
- Première équation : \(-(-2) + 5 = 2 + 5 = 7\) ✓
- Deuxième équation : \(2 \times (-2) + 3 \times 5 = -4 + 15 = 11\) ✓
2 – Méthodes de résolution
a) Méthode par substitution
Exemple 2 :
Résoudre le système \(\begin{cases} x + 3y = 2 \\ 2x - 5y = -18 \end{cases}\)Étape 1 : On exprime \(x\) en fonction de \(y\) à l'aide de la 1re équation :
\(x = 2 - 3y\)
Étape 2 : On substitue dans la 2e équation :
\(2(2 - 3y) - 5y = -18\)
\(4 - 6y - 5y = -18\)
\(-11y = -18 - 4 = -22\)
\(y = \dfrac{-22}{-11} = 2\)
Étape 3 : On calcule \(x\) :
\(x = 2 - 3 \times 2 = 2 - 6 = -4\)
Le système admet une unique solution : le couple \((-4\;;2)\).
b) Méthode par combinaison
Exemple 3 :
Résoudre le système \(\begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ -4x + 5y = -13 \end{cases}\)Étape 1 : On multiplie la 1re équation par \(2\) pour obtenir des coefficients opposés pour \(x\) :
\(\begin{cases} 4x + 6y = 2 \\ -4x + 5y = -13 \end{cases}\)
Étape 2 : On additionne les deux équations (les termes en \(x\) s'éliminent) :
\(4x + 6y + (-4x) + 5y = 2 + (-13)\)
\(11y = -11\)
\(y = -1\)
Étape 3 : On reporte dans la 1re équation :
\(2x + 3 \times (-1) = 1\)
\(2x - 3 = 1\)
\(2x = 4\)
\(x = 2\)
Le système admet une unique solution : le couple \((2\;;-1)\).
3 – Interprétation graphique
Propriété 1 :
Chaque équation du système correspond à une droite dans le plan. La résolution du système revient à trouver le(s) point(s) d'intersection de ces deux droites.
• Si les droites sont sécantes : le système a une unique solution (le point d'intersection).
• Si les droites sont parallèles (non confondues) : le système n'a aucune solution.
• Si les droites sont confondues : le système a une infinité de solutions.
Chaque équation du système correspond à une droite dans le plan. La résolution du système revient à trouver le(s) point(s) d'intersection de ces deux droites.
• Si les droites sont sécantes : le système a une unique solution (le point d'intersection).
• Si les droites sont parallèles (non confondues) : le système n'a aucune solution.
• Si les droites sont confondues : le système a une infinité de solutions.
Démonstration :
Chaque équation \(ax + by = c\) peut se réécrire sous la forme \(y = \ldots\) (si \(b \neq 0\)), ce qui définit une fonction affine dont la représentation graphique est une droite. Résoudre le système revient à trouver les coordonnées du (des) point(s) commun(s) aux deux droites.
Chaque équation \(ax + by = c\) peut se réécrire sous la forme \(y = \ldots\) (si \(b \neq 0\)), ce qui définit une fonction affine dont la représentation graphique est une droite. Résoudre le système revient à trouver les coordonnées du (des) point(s) commun(s) aux deux droites.
Exemple 4 :
Résoudre graphiquement le système \(\begin{cases} -x + y = 7 \\ 2x + 3y = 11 \end{cases}\)
Le système admet une unique solution : le couple \((-2\;;5)\).
Exemple 5 :
Résoudre le système \(\begin{cases} 2x + y = 3 \\ 4x + 2y = 1 \end{cases}\)
La 2e équation s'écrit \(2(2x + y) = 1\), soit \(2x + y = \dfrac{1}{2}\).Or la 1re équation donne \(2x + y = 3\).
On obtiendrait \(3 = \dfrac{1}{2}\), ce qui est impossible.
Le système n'a aucune solution : \(S = \emptyset\).
Graphiquement, les deux droites sont parallèles (non confondues).
Exemple 6 :
Résoudre le système \(\begin{cases} x - 2y = 4 \\ -3x + 6y = -12 \end{cases}\)
La 2e équation est le triple de l'opposée de la 1re : \(-3(x - 2y) = -3 \times 4 = -12\).Les deux équations sont donc équivalentes.
Le système a une infinité de solutions : tous les couples \((x\;;y)\) vérifiant \(x - 2y = 4\).
Graphiquement, les deux droites sont confondues.
