1 – Équation produit nul
Propriété 1 :
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul. \[A(x) \times B(x) = 0 \iff A(x) = 0 \quad \text{ou} \quad B(x) = 0\]
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul. \[A(x) \times B(x) = 0 \iff A(x) = 0 \quad \text{ou} \quad B(x) = 0\]
Exemple 1 :
Résoudre les équations suivantes :
- \((x + 2)(x - 7) = 0\)
Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul :
\(x + 2 = 0\)
ou
\(x - 7 = 0\)
\(x = -2\)
ou
\(x = 7\)
Donc \(S = \{-2\;;\;7\}\) - \((3x - 6)(5 - x) = 0\)
\(3x - 6 = 0\)
ou
\(5 - x = 0\)
\(3x = 6\)
ou
\(x = 5\)
\(x = 2\)
ou
\(x = 5\)
Donc \(S = \{2\;;\;5\}\) - \(x^2(4 - 3x) = 0\)
\(x^2 = 0\)
ou
\(4 - 3x = 0\)
\(x = 0\)
ou
\(3x = 4\), soit \(x = \dfrac{4}{3}\)
Donc \(S = \left\{0\;;\;\dfrac{4}{3}\right\}\) - \((3x + 1)^2 = 0\)
\(3x + 1 = 0\)
\(x = -\dfrac{1}{3}\)
Donc \(S = \left\{-\dfrac{1}{3}\right\}\)
2 – Équation quotient nul
Propriété 2 :
Un quotient est nul si et seulement si le numérateur est nul et le dénominateur est non nul. \[\frac{A(x)}{B(x)} = 0 \iff A(x) = 0 \quad \text{et} \quad B(x) \neq 0\]
Un quotient est nul si et seulement si le numérateur est nul et le dénominateur est non nul. \[\frac{A(x)}{B(x)} = 0 \iff A(x) = 0 \quad \text{et} \quad B(x) \neq 0\]
Remarque : Il faut toujours vérifier que le dénominateur n'est pas nul (valeurs interdites).
Exemple 2 :
Résoudre les équations suivantes :
- \(\dfrac{4x - 6}{3x + 5} = 0\)
Numérateur : \(4x - 6 = 0 \iff x = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\)
Vérification du dénominateur : Pour \(x = \dfrac{3}{2}\), \(3 \times \dfrac{3}{2} + 5 = \dfrac{9}{2} + 5 = \dfrac{19}{2} \neq 0\) ✓
Donc \(S = \left\{\dfrac{3}{2}\right\}\) - \(\dfrac{x - 2}{3x - 6} = 0\)
Numérateur : \(x - 2 = 0 \iff x = 2\)
Vérification du dénominateur : Pour \(x = 2\), \(3 \times 2 - 6 = 0\). Le dénominateur s'annule !
La valeur \(x = 2\) est interdite. L'équation n'a aucune solution.
Donc \(S = \emptyset\)
3 – Produit en croix
Propriété 3 :
Pour \(B \neq 0\) et \(D \neq 0\) : \[\frac{A}{B} = \frac{C}{D} \iff A \times D = B \times C\]
Pour \(B \neq 0\) et \(D \neq 0\) : \[\frac{A}{B} = \frac{C}{D} \iff A \times D = B \times C\]
Exemple 3 :
Résoudre les équations suivantes :
- \(\dfrac{-4}{x} = \dfrac{2}{x + 3}\)
Condition : \(x \neq 0\) et \(x \neq -3\)
Par produit en croix :
\(-4(x + 3) = 2x\)
\(-4x - 12 = 2x\)
\(-12 = 2x + 4x = 6x\)
\(x = \dfrac{-12}{6} = -2\)
On vérifie : \(-2 \neq 0\) et \(-2 \neq -3\) ✓
Donc \(S = \{-2\}\) - \(\dfrac{2x}{x + 1} = 3\)
Condition : \(x \neq -1\)
On écrit \(3 = \dfrac{3}{1}\), puis par produit en croix :
\(2x \times 1 = 3(x + 1)\)
\(2x = 3x + 3\)
\(2x - 3x = 3\)
\(-x = 3\)
\(x = -3\)
On vérifie : \(-3 \neq -1\) ✓
Donc \(S = \{-3\}\)
