Produit
Exercice 1 : Equation
Résoudre les équations suivantes :
- \((2x - 6)(x + 4) = 0\)
- \((5x - 1)(3x + 2) = 0\)
- \(x(7 - 2x) = 0\)
- \((x - 3)(x + 3) = 0\)
- \((4x - 1)(2x + 5)(x - 7) = 0\)
Exercice 2 : Fonction Produit
On considère la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = (10 - x)(x - 70)\).
- Déterminer les antécédents de \(0\) par \(h\).
- Réaliser le tableau de signe de \(h(x)\).
Exercice 3 : Tableau de signe
Réaliser le tableau de signe des fonctions suivantes :
- \(f(x) = (3x - 2)(4x + 1)\)
- \(f(x) = (5 - x)(2x + 3)\)
- \(f(x) = x(x - 1)\)
- \(f(x) = (7x + 14)(-3x + 9)\)
- \(f(x) = (2x - 1)(x + 4)(3 - x)\)
- \(f(x) = (-x + 5)^2\)
Exercice 4 : Inéquation
Résoudre les inéquations suivantes :
- \((5x - 1)(-2x + 1) > 0\)
- \((3x + 6)(4 - x) \leq 0\)
- \(x(2x - 7) \geq 0\)
- \((x - 3)(2x + 1)(x + 5) < 0\)
- \((-x + 4)^2 \leq 0\)
Exercice 5 : Fonction infernale
On considère la fonction \(k\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[k(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) \ldots (x - 2018)\]
- Quels sont les antécédents de \(0\) par \(k\) ?
- Déterminer le signe de :
- \(k(0)\)
- \(k(2019)\)
- \(k(\sqrt{2})\)
- \(k(999{,}999)\)
Exercice 6 : Trouver une fonction 1
Trouver une fonction \(f\) sous forme d'un produit vérifiant les conditions suivantes :
- \(f\) s'annule en \(2\) et en \(5\).
- \(f\) s'annule en \(-1\) et en \(3\) et \(f(0) > 0\).
- \(f\) s'annule en \(0\), en \(1\) et en \(4\).
- \(f\) s'annule uniquement en \(7\).
Exercice 7 : Trouver une fonction 2
Trouver une fonction \(f\) sous forme d'un produit vérifiant les conditions suivantes :
- \(f\) s'annule en \(\dfrac{1}{2}\) et en \(\dfrac{3}{4}\).
- \(f\) s'annule en \(\dfrac{2}{3}\) et en \(-\dfrac{5}{7}\).
- \(f\) s'annule en \(\sqrt{2}\) et en \(\sqrt{3}\).
- \(f\) s'annule en \(1 + \sqrt{5}\) et en \(1 - \sqrt{5}\).
- \(f\) s'annule en \(\pi\).
Remarque : Le nombre \(\pi\) est un nombre transcendant, c'est-à-dire qu'il n'est racine d'aucun polynôme à coefficients entiers. On ne peut donc pas écrire un facteur de la forme \((ax + b)\) avec \(a\) et \(b\) entiers qui s'annule en \(\pi\).
Exercice 8 : Trouver une fonction 3
Trouver une fonction \(f\) sous forme d'un produit qui ne s'annule jamais.
Exercice 9 : Factorisation
Factoriser les expressions suivantes puis réaliser leur tableau de signe.
- \(f(x) = 4x^2 - 9\)
- \(f(x) = x^2 - 5\)
- \(f(x) = (2x + 1)^2 - (x - 3)^2\)
- \(f(x) = x^2 + 6x + 9\)
- \(f(x) = 9x^2 - 12x + 4\)
Rappel (IR) : \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)
Quotient
Exercice 10 : Equation
Résoudre les équations suivantes :
- \(\dfrac{2x - 4}{x + 1} = 0\)
- \(\dfrac{3x + 9}{5x - 2} = 0\)
- \(\dfrac{x}{2x + 6} = 0\)
- \(\dfrac{(x - 1)(x + 3)}{x - 5} = 0\)
- \(\dfrac{4x - 8}{(2x + 1)(x - 3)} = 0\)
Exercice 11 : Tableau de signe
Réaliser le tableau de signe des expressions suivantes :
- \(f(x) = \dfrac{3x - 6}{x + 2}\)
- \(f(x) = \dfrac{(2x + 1)(x - 4)}{3x - 9}\)
- \(f(x) = \dfrac{-x + 5}{(x - 1)(2x + 3)}\)
Exercice 12 : Inéquation
Résoudre les inéquations suivantes :
- \(\dfrac{x - 3}{2x + 4} \geq 0\)
- \(\dfrac{(5x - 10)(x + 1)}{x - 7} \leq 0\)
- \(\dfrac{3x + 6}{(x - 2)(4x - 1)} > 0\)
Exercice 13 : Deux fonctions
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies par :
\[f(x) = \dfrac{4}{3x - 1} \qquad \text{et} \qquad g(x) = \dfrac{3x + 1}{2}\]
- Identifier chaque courbe.
- Résoudre graphiquement l'équation \(f(x) = g(x)\).
- Résoudre algébriquement l'équation \(f(x) = g(x)\).
Exercice 14 : Zone d'ombre
Un projecteur est placé au sommet d'un mât de hauteur \(x\) mètres (avec \(x > 3\)). Un mur de \(2\,m\) de haut est situé à \(3\,m\) du pied du mât. Le projecteur éclaire le mur et crée une zone d'ombre derrière celui-ci.
- Compléter le tableau de valeurs suivant, où \(f(x)\) désigne la longueur de l'ombre (en mètres) :
\(x\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\) \(9\) \(10\) \(f(x)\) - Exprimer \(f(x)\) en fonction de \(x\).
- Tracer la courbe représentative de la fonction \(f\) dans le repère ci-dessous.
- Déterminer la hauteur du mât pour que l'ombre mesure \(5\,m\).
