1 – Signe d'un Produit / Quotient
Propriété 1 : Règle des signes
• Le produit (ou le quotient) de deux facteurs de même signe est positif.
• Le produit (ou le quotient) de deux facteurs de signes contraires est négatif.
• Le produit (ou le quotient) de deux facteurs de même signe est positif.
• Le produit (ou le quotient) de deux facteurs de signes contraires est négatif.
But : Déterminer le signe d'une expression produit ou quotient en fonction de \(x\).
Méthode : On procède en 4 étapes.
Méthode : On procède en 4 étapes.
- Déterminer les valeurs remarquables : les valeurs de \(x\) qui annulent chaque facteur (et les valeurs interdites pour un quotient).
- Étudier le signe de chaque facteur séparément.
- Construire le tableau de signe en appliquant la règle des signes ligne par ligne.
- Lire le signe du produit (ou du quotient) sur la dernière ligne du tableau.
Exemple 1 :
a) Déterminer le signe de \(f(x) = (x - 3)(2 - 5x)\).- \(x - 3 = 0 \iff x = 3\)
- \(2 - 5x = 0 \iff x = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\)
b) Déterminer le signe de \(g(x) = \dfrac{3 - 2x}{1 + 2x}\).
- \(3 - 2x = 0 \iff x = \dfrac{3}{2} = 1{,}5\)
- \(1 + 2x = 0 \iff x = -\dfrac{1}{2} = -0{,}5\)
(valeur interdite)
Donc \(g(x)\) est positive sur \(\left]-0{,}5\;;\;1{,}5\right]\) et négative sur \(\left]-\infty\;;\;-0{,}5\right[ \cup \left[1{,}5\;;\;+\infty\right[\).
2 – Application à la résolution des inéquations
Propriété 2 :
• \(f(x) \geq 0\) lorsque \(f\) est positive (on lit les intervalles où le signe est \(+\) ou \(0\) dans le tableau).
• \(f(x) \leq 0\) lorsque \(f\) est négative (on lit les intervalles où le signe est \(-\) ou \(0\) dans le tableau).
• \(f(x) \geq 0\) lorsque \(f\) est positive (on lit les intervalles où le signe est \(+\) ou \(0\) dans le tableau).
• \(f(x) \leq 0\) lorsque \(f\) est négative (on lit les intervalles où le signe est \(-\) ou \(0\) dans le tableau).
Exemple 2 :
a) Résoudre \((x - 3)(2 - 5x) \geq 0\).D'après le tableau de signe de l'exemple 1a, \(f(x) \geq 0\) lorsque \(f(x)\) est positive ou nulle, c'est-à-dire sur l'intervalle \(\left[\dfrac{2}{5}\;;\;3\right]\).
Donc \(S = \left[\dfrac{2}{5}\;;\;3\right] = [0{,}4\;;\;3]\)
b) Résoudre \(\dfrac{3 - 2x}{1 + 2x} < 0\).
D'après le tableau de signe de l'exemple 1b, \(g(x) < 0\) lorsque \(g(x)\) est strictement négative, c'est-à-dire sur \(\left]-\infty\;;\;-0{,}5\right[\) et sur \(\left]1{,}5\;;\;+\infty\right[\).
Donc \(S = \left]-\infty\;;\;-0{,}5\right[ \cup \left]1{,}5\;;\;+\infty\right[\)
