1 – Colinéarité de deux vecteurs
Définition 1 :
Deux vecteurs sont dits colinéaires s'ils ont la même direction.
Deux vecteurs sont dits colinéaires s'ils ont la même direction.
Propriété 1 :
Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) non nuls sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre \(k\) tel que : \[\overrightarrow{v} = k \times \overrightarrow{u}\]
Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) non nuls sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre \(k\) tel que : \[\overrightarrow{v} = k \times \overrightarrow{u}\]
Par convention, le vecteur nul \(\overrightarrow{0}\) est colinéaire à tout vecteur.
Exemple 1 :
Les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont-ils colinéaires ?
• \(\overrightarrow{u}\binom{2}{1}\) et \(\overrightarrow{v}\binom{- 6}{- 3}\)
• \(\overrightarrow{u}\binom{3}{1}\) et \(\overrightarrow{v}\binom{5}{2}\)
2 – Déterminant de deux vecteurs
Définition 2 :
On considère deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\binom{x}{y}\) et \(\overrightarrow{v}\binom{x'}{y'}\).
On appelle déterminant des vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) le nombre : \(\det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) = xy' - x'y\).
On considère deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\binom{x}{y}\) et \(\overrightarrow{v}\binom{x'}{y'}\).
On appelle déterminant des vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) le nombre : \(\det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) = xy' - x'y\).
Le déterminant des vecteurs \(\overrightarrow{u}\binom{x}{y}\) et \(\overrightarrow{v}\binom{x'}{y'}\) est souvent noté \(\left| \begin{matrix} x & x' \\ y & y' \end{matrix} \right|\).
Pour le calculer on effectue une sorte de « produit en croix » : \(\left| \begin{matrix} x & x' \\ y & y' \end{matrix} \right| = xy' - x'y\).
Pour le calculer on effectue une sorte de « produit en croix » : \(\left| \begin{matrix} x & x' \\ y & y' \end{matrix} \right| = xy' - x'y\).
Propriété 2 :
Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) non nuls sont colinéaires si et seulement si \(\det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) = 0\).
Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) non nuls sont colinéaires si et seulement si \(\det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) = 0\).
Exemple 2 :
En utilisant le déterminant déterminer si les vecteurs suivants sont colinéaires.
- \(\overrightarrow{u}\binom{4}{6}\) et \(\overrightarrow{v}\binom{6}{9}\) : \(\left| \begin{matrix} 4 & 6 \\ 6 & 9 \end{matrix} \right| = 4 \times 9 - 6 \times 6 = 36 - 36 = 0\) donc \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires.
- \(\overrightarrow{u}\binom{5}{7}\) et \(\overrightarrow{v}\binom{7}{9}\) : \(\left| \begin{matrix} 5 & 7 \\ 7 & 9 \end{matrix} \right| = 5 \times 9 - 7 \times 7 = 45 - 49 = - 4 \neq 0\) donc \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) ne sont pas colinéaires.
Si l'un des deux vecteurs est nul alors \(\det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) = 0\) car soit \(x = y = 0\) soit \(x' = y' = 0\).
Démonstration
Soient \(\overrightarrow{u}\binom{x}{y}\) et \(\overrightarrow{v}\binom{x'}{y'}\) deux vecteurs non nuls.\(\Rightarrow\) Supposons que \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires. Il existe donc un réel \(k\) tel que : \(\overrightarrow{v} = k \times \overrightarrow{u}\).
On a donc \(\binom{x'}{y'} = \binom{k \times x}{k \times y}\) d'où \(x' = kx\) et \(y' = ky\).
Calculons le déterminant de \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) : \(\det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) = xy' - x'y = x(ky) - (kx)y = 0\).
\(\Leftarrow\) Supposons que \(\det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) = xy' - x'y = 0\) c'est-à-dire \(xy' = x'y\) \((*)\).
Comme \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont non nuls l'une au moins des coordonnées de \(\overrightarrow{u}\binom{x}{y}\) est non nulle.
- Si \(x \neq 0\) on pose \(k = \frac{x'}{x}\). On a alors \(x' = kx\) et d'après \((*)\), on a \(y' = \frac{x'}{x}y\) d'où \(y' = ky\).
- Si \(y \neq 0\) on pose \(k = \frac{y'}{y}\). On a alors \(y' = ky\) et d'après \((*)\), on a \(x' = \frac{y'}{y}x\) d'où \(x' = kx\).
3 – Déterminant et parallélogramme
Propriété 3 :
L'aire d'un parallélogramme \(ABCD\) est égale à \(\left| \det(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}) \right|\).
L'aire d'un parallélogramme \(ABCD\) est égale à \(\left| \det(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}) \right|\).
Rappel : \(|x|\) est la valeur absolue de \(x\), c'est-à-dire sa valeur numérique sans tenir compte de son signe.
Exemple 3 :
On considère les points \(A( - 4; - 3)\), \(B(1; - 4)\), \(C(3;2)\) et \(D( - 2;3)\).
- Démontrer que \(ABCD\) est un parallélogramme.
On doit montrer que \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\). \(\overrightarrow{AB}\binom{x_{B} - x_{A}}{y_{B} - y_{A}} = \binom{1 - ( - 4)}{- 4 - ( - 3)}\)
\(= \binom{5}{- 1}\) \(\overrightarrow{DC}\binom{x_{C} - x_{D}}{y_{C} - y_{D}} = \binom{3 - ( - 2)}{2 - 3}\)
\(= \binom{5}{- 1}\) Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\) sont égaux car ils ont les mêmes coordonnées.
Donc \(ABCD\) est bien un parallélogramme. - Calculer l'aire du parallélogramme \(ABCD\).
On utilise la propriété précédente : \(\text{Aire}(ABCD) = \left| \det(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD}) \right|\).
\(\overrightarrow{AB}\binom{5}{- 1}\) et \(\overrightarrow{AD}\binom{x_{D} - x_{A}}{y_{D} - y_{A}} = \binom{- 2 - ( - 4)}{3 - ( - 3)} = \binom{2}{6}\) \(\det\left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD} \right) = \left| \begin{matrix} 5 & 2 \\ - 1 & 6 \end{matrix} \right|\)
\(= 5 \times 6 - ( - 1) \times 2 = 30 + 2 = 32\) \(\text{Aire}(ABCD) = |32| = 32\ \text{unités d'aires}\)
