1 – Le vecteur \(k.\overrightarrow{v}\)
Définition 1 :
Soit \(\overrightarrow{v}\binom{x}{y}\) un vecteur et soit \(k\) un nombre réel alors \(k.\overrightarrow{v}\) est le vecteur de coordonnées \(\binom{kx}{ky}\).
Soit \(\overrightarrow{v}\binom{x}{y}\) un vecteur et soit \(k\) un nombre réel alors \(k.\overrightarrow{v}\) est le vecteur de coordonnées \(\binom{kx}{ky}\).
Exemple 1 :
On considère le vecteur \(\overrightarrow{v}\binom{6}{3}\). Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants puis représenter-les à l'aide du quadrillage ci-contre :
- \(2\ \overrightarrow{v} = \binom{2 \times 6}{2 \times 3} = \binom{12}{6}\)
- \(\frac{1}{3}\overrightarrow{v} = \binom{1/3 \times 6}{1/3 \times 3} = \binom{2}{1}\)
- \(- 3\ \overrightarrow{v} = \binom{- 3 \times 6}{- 3 \times 3} = \binom{- 18}{- 9}\)
- \(- \frac{1}{2}\ \overrightarrow{v} = \binom{- 0{,}5 \times 6}{- 0{,}5 \times 3} = \binom{- 3}{- 1{,}5}\)
- \(1{,}5\ \overrightarrow{v} = \binom{1{,}5 \times 6}{1{,}5 \times 3} = \binom{9}{4{,}5}\)
- \(0\ \overrightarrow{v} = \binom{0 \times 6}{0 \times 3} = \binom{0}{0} = \overrightarrow{0}\)
Tous ces vecteurs ont même direction.
Propriété 1 :
Soit \(\overrightarrow{v}\) un vecteur et \(k\) un nombre réel.
Soit \(\overrightarrow{v}\) un vecteur et \(k\) un nombre réel.
- La longueur de \(k.\ \overrightarrow{v}\) est égale à \(k\)-fois celle de \(\overrightarrow{v}\) : \(\left\| k.\ \overrightarrow{v} \right\| = |k| \times \left\| \overrightarrow{v} \right\|\)
- Si \(k > 0\) alors \(k.\ \overrightarrow{v}\) a le même sens que \(\overrightarrow{v}\). Si \(k < 0\) alors \(k.\ \overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont dans le sens contraire.
Le vecteur \(- 1.\overrightarrow{v}\) coïncide avec le vecteur opposé \(- \overrightarrow{v}\) du vecteur \(\overrightarrow{v}\).
Propriété 2 :
On considère deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et \(k\) et \(k'\) deux nombres réels. On a les propriétés suivantes :
On considère deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et \(k\) et \(k'\) deux nombres réels. On a les propriétés suivantes :
- \(0.\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}\)
- \(k.\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}\)
- \(k.\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right) = k.\overrightarrow{u} + k.\overrightarrow{v}\)
- \(\left( k + k' \right).\overrightarrow{u} = k.\overrightarrow{u} + k'.\overrightarrow{u}\)
- \(k.\left( k'.\overrightarrow{u} \right) = (k.k').\overrightarrow{u}\)
2 – Décomposition d'un vecteur dans une base
Propriété 3 :
Soit \(\overrightarrow{i}\) et \(\overrightarrow{j}\) deux vecteurs qui ne sont pas dans la même direction.
Pour tout vecteur \(\overrightarrow{v}\), il existe deux réels \(x\) et \(y\) tel que \(\overrightarrow{v} = x.\ \overrightarrow{i} + y.\overrightarrow{j}\).
Soit \(\overrightarrow{i}\) et \(\overrightarrow{j}\) deux vecteurs qui ne sont pas dans la même direction.
Pour tout vecteur \(\overrightarrow{v}\), il existe deux réels \(x\) et \(y\) tel que \(\overrightarrow{v} = x.\ \overrightarrow{i} + y.\overrightarrow{j}\).
Définition 2 :
On dit dans ce cas que le vecteur \(\overrightarrow{v}\) a pour coordonnées \(\binom{x}{y}\) dans la base \((\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})\).
On dit dans ce cas que le vecteur \(\overrightarrow{v}\) a pour coordonnées \(\binom{x}{y}\) dans la base \((\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})\).
- Soit \((O;I;J)\) un repère du plan et \(\overrightarrow{v}\) un vecteur. On pose \(\overrightarrow{i} = \overrightarrow{OI}\) et \(\overrightarrow{j} = \overrightarrow{OJ}\).
Dans ce cas les coordonnées de \(\overrightarrow{v}\) coïncident avec celles dans la base \((\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})\). - Un vecteur n'a pas les mêmes coordonnées dans deux bases différentes.
Exemple 2 :
- \(\overrightarrow{v} = 3\overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j}\) donc \(\overrightarrow{v}\) a pour coordonnées \(\binom{3}{2}\) dans la base \(\left( \overrightarrow{i};\overrightarrow{j} \right)\).
- \(\overrightarrow{v}\) a pour coordonnées \(\binom{4}{5}\) dans la base \((\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OJ})\).
