Activité 1 : Parcours
- En utilisant uniquement les déplacements \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) trouver un chemin permettant d'aller de :
a. \(A\) vers \(B\)
b. \(B\) vers \(C\)
c. \(C\) vers \(D\)
3) Comparer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AD}\) avec celles du vecteur \(\overrightarrow{u}\).
Correction — Activité 1
a. \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{u} + \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + \overrightarrow{v} = 3\overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v}\)
b. \(\overrightarrow{BC} = - \overrightarrow{v} - \overrightarrow{v} - \overrightarrow{v} - \overrightarrow{u} = - 3\overrightarrow{v} - \overrightarrow{u}\)
c. \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} + \overrightarrow{u} = \overrightarrow{v} + 2\overrightarrow{u}\)
2) \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}\)
\(= 3\overrightarrow{u} + 2\overrightarrow{v} - 3\overrightarrow{v} - \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} + 2\overrightarrow{u}\)
\(= 4\overrightarrow{u}\)
3) \(\overrightarrow{u}\binom{3}{2}\) et \(\overrightarrow{AD}\binom{12}{8} = \binom{4 \times 3}{4 \times 2}\). Les coordonnées de \(\overrightarrow{AD}\) sont égales à \(4\) fois celles de \(\overrightarrow{u}\).
Activité 2 : Changement de base
On se place dans un repère \((O;I;J)\) orthonormé. On pose \(\overrightarrow{i} = \overrightarrow{OI}\) et \(\overrightarrow{j} = \overrightarrow{OJ}\).
- a. Représenter le vecteur \(\overrightarrow{x} = 3\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\) d'origine \(A\).
On dit que le vecteur \(\overrightarrow{x}\) a pour coordonnées \(\overrightarrow{x}\binom{3}{1}\) dans la base \((\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})\).
b. Représenter le vecteur \(\overrightarrow{y}\) d'origine \(A\) qui a pour coordonnées \(\overrightarrow{y}\binom{1}{- 2}\) dans la base \((\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})\). - a. Exprimer les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) en fonction de \(\overrightarrow{i}\) et \(\overrightarrow{j}\).
b. En déduire les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{x}\) et \(\overrightarrow{y}\) dans la base \((\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})\).
c. Vérifier graphiquement les résultats.
Dans la base \((\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})\), les coordonnées des vecteurs sont les mêmes que celles dans le repère \((O;I;J)\). - a. Quels sont les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{w}\) dans la base \((\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})\) ?
b. Exprimer les vecteurs \(\overrightarrow{i}\) et \(\overrightarrow{j}\) en fonction de \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\).
c. En déduire les coordonnées de \(\overrightarrow{w}\) dans la base \((\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})\).
d. Vérifier graphiquement le résultat.
Correction — Activité 2
2.
a. \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{i} - \overrightarrow{j}\) et \(\overrightarrow{v} = - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j}\).
b. \(\overrightarrow{x} = 3\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = 3\left( \overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} \right) + \left( - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} \right) = 3\overrightarrow{i} - 3\overrightarrow{j} - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} = 2\overrightarrow{i} - \overrightarrow{j}\).
Donc \(\overrightarrow{x}\binom{2}{-1}\) dans la base \((\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})\).
\(\overrightarrow{y} = \overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v} = \left( \overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} \right) - 2\left( - \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} \right) = \overrightarrow{i} - \overrightarrow{j} + 2\overrightarrow{i} - 4\overrightarrow{j} = 3\overrightarrow{i} - 5\overrightarrow{j}\).
Donc \(\overrightarrow{y}\binom{3}{-5}\) dans la base \((\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})\).
c. Les coordonnées trouvées dans la base \((\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})\) coïncident bien avec celles dans le repère \((O;I;J)\).
3.
a. \(\overrightarrow{w}\binom{-1}{5}\) dans la base \((\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})\).
b. \(\overrightarrow{i} = 2\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{j} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\) (voir figure).
c. \(\overrightarrow{w} = - \overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j} = - \left( 2\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right) + 5\left( \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \right) = - 2\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} + 5\overrightarrow{u} + 5\overrightarrow{v} = 3\overrightarrow{u} + 4\overrightarrow{v}\).
Donc \(\overrightarrow{w}\binom{3}{4}\) dans la base \((\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})\).
d. C'est correct car on obtient \(\overrightarrow{w}\) en ajoutant \(3\) fois \(\overrightarrow{u}\) et \(4\) fois \(\overrightarrow{v}\).
