Activité 1 : Le cavalier
Aux échecs, le cavalier peut se déplacer selon les vecteurs \(\overrightarrow{AM_{1}}\), \(\overrightarrow{AM_{2}}\), ... , \(\overrightarrow{AM_{8}}\).
- a. Le cavalier effectue le déplacement \(\overrightarrow{AM_{1}}\), puis le déplacement \(\overrightarrow{AM_{2}}\). Où se trouve le cavalier après son déplacement ? Ce déplacement est noté \(\overrightarrow{AM_{1}} + \overrightarrow{AM_{2}}\).
b. Quelle est la nature du quadrilatère \(AM_{1}CM_{2}\) ?
c. Compléter de 2 façons l'égalité : \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{A\ldots} + \overrightarrow{\ldots C}\)
d. Lire les coordonnées de \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AM_{1}}\) et \(\overrightarrow{AM_{2}}\). Que remarque-t-on ? - a. Le cavalier effectue le déplacement \(\overrightarrow{AM_{1}}\). Quel déplacement doit-il effectuer pour retourner en \(A\) ? Ce déplacement est noté \(- \overrightarrow{AM_{1}}\).
b. Comparer les coordonnées de \(\overrightarrow{AM_{1}}\) et de \(\overrightarrow{AM_{5}}\).
- On note \(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\) le déplacement \(\overrightarrow{u} + \left( - \overrightarrow{v} \right)\). Réaliser les déplacements suivants :
a. \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AM_{3}} + \overrightarrow{AM_{4}}\)
b. \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AM_{5}} - \overrightarrow{AM_{7}}\)
c. \(\overrightarrow{AM_{1}} + \overrightarrow{AM_{8}} - \overrightarrow{AM_{1}}\)
d. \(\overrightarrow{BF} = - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AM_{4}}\)
Correction — Activité 1
a. Il se trouve en \(C\).
b. \(AM_{1}CM_{2}\) est un parallélogramme.
c. \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AM_{1}} + \overrightarrow{M_{1}C}\) et \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AM_{2}} + \overrightarrow{M_{2}C}\).
d. \(\overrightarrow{AC} = \binom{3}{3}\), \(\overrightarrow{AM_{1}} = \binom{2}{1}\) et \(\overrightarrow{AM_{2}} = \binom{1}{2}\).
Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AC}\) s'obtiennent en additionnant celles de \(\overrightarrow{AM_{1}}\) et \(\overrightarrow{AM_{2}}\).
2.
a. Il doit effectuer le déplacement \(\overrightarrow{AM_{5}}\).
On a donc \(\overrightarrow{AM_{5}} = - \overrightarrow{AM_{1}}\).
b. \(\overrightarrow{AM_{1}} = \binom{2}{1}\) et \(\overrightarrow{AM_{5}} = \binom{-2}{-1}\). Les coordonnées de \(- \overrightarrow{AM_{1}}\) sont les opposées de celles de \(\overrightarrow{AM_{1}}\).
3.
a. \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AM_{3}} + \overrightarrow{AM_{4}}\) (voir schéma).
b. \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AM_{5}} - \overrightarrow{AM_{7}}\) (voir schéma).
c. \(\overrightarrow{AM_{1}} + \overrightarrow{AM_{8}} - \overrightarrow{AM_{1}} = \overrightarrow{AM_{8}}\) (on peut simplifier les \(\overrightarrow{AM_{1}}\)).
d. \(\overrightarrow{BF} = - \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AM_{4}}\) : le point \(F = A\).
4) On doit utiliser les déplacements \(\overrightarrow{AM_{1}}\), \(\overrightarrow{AM_{2}}\) et \(\overrightarrow{AM_{8}}\) dans l'ordre que l'on veut. Il y a 6 possibilités :
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM_{1}} + \overrightarrow{AM_{2}} + \overrightarrow{AM_{8}}\)
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM_{2}} + \overrightarrow{AM_{1}} + \overrightarrow{AM_{8}}\)
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM_{8}} + \overrightarrow{AM_{1}} + \overrightarrow{AM_{2}}\)
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM_{1}} + \overrightarrow{AM_{8}} + \overrightarrow{AM_{2}}\)
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM_{2}} + \overrightarrow{AM_{8}} + \overrightarrow{AM_{1}}\)
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM_{8}} + \overrightarrow{AM_{2}} + \overrightarrow{AM_{1}}\)
Activité 2 : Remorquage d'un bateau
Un bateau à la dérive, est remorqué par deux remorqueurs dont la force de traction a été représentée par deux vecteurs. Dans quelle direction ira le bateau ?
Correction — Activité 2
On doit donc placer le point \(D\) de manière à ce que \(ABDC\) soit un parallélogramme.
On trace un arc de cercle de centre \(C\) et de rayon \(AB\).
On trace un arc de cercle de centre \(B\) et de rayon \(AC\).
Le point \(D\) se trouve alors à l'intersection des deux arcs de cercle.
Activité 3 : Réseau TER
Voici le plan du réseau TER de la région Poitou-Charentes.
Un déplacement entre 2 villes peut être représenté par un vecteur.
Exemple : \(\overrightarrow{PA}\) représente le trajet Poitiers > Angoulême. On peut enchaîner deux trajets en utilisant la somme vectorielle.
Exemple : \(\overrightarrow{PA}\) représente le trajet Poitiers > Angoulême. On peut enchaîner deux trajets en utilisant la somme vectorielle.
- Quels sont les deux correspondances possibles pour aller de Poitiers à Saintes ?
- Donner tous les trajets possibles pour aller de Royan à Poitiers (sans passer deux fois par la même ville).
