1 – Définitions
Définition 1 :
On considère deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\).
On considère deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\).
- La somme de \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\), noté \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\), est le vecteur associé à la translation obtenue en enchaînant la translation de vecteur \(\overrightarrow{u}\), puis celle de vecteur \(\overrightarrow{v}\).
- L'opposé de \(\overrightarrow{u}\), noté \(- \overrightarrow{u}\), est le vecteur qui a même direction, même longueur que \(\overrightarrow{u}\) mais un sens différent.
- La différence des vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\), est le vecteur \(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} + ( - \overrightarrow{v})\).
Somme
On met les vecteurs « bout à bout ».
Opposé
On inverse le sens de la flèche.
Différence
On fait la somme de \(\overrightarrow{u}\) et de \(- \overrightarrow{v}\).
On a \(- \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}\).
Propriété 1 :
On considère trois vecteurs \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\). On a les propriétés suivantes :
On considère trois vecteurs \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\). On a les propriétés suivantes :
- Associativité : \(\overrightarrow{u} + (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{w}\)
- Commutativité : \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}\)
- Élément neutre : \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u}\)
- Symétrique : \(\overrightarrow{u} + ( - \overrightarrow{u}) = \overrightarrow{0}\)
2 – Coordonnées
Propriété 2 :
On considère deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\binom{x}{y}\) et \(\overrightarrow{v}\binom{x'}{y'}\) :
On considère deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\binom{x}{y}\) et \(\overrightarrow{v}\binom{x'}{y'}\) :
- \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\binom{x + x'}{y + y'}\)
- \(- \overrightarrow{u}\binom{- x}{- y}\)
- \(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\binom{x - x'}{y - y'}\)
Exemple 2 :
Soient \(\overrightarrow{u}\binom{5}{4}\) et \(\overrightarrow{v}\binom{3}{- 2}\) deux vecteurs.
- Calculer les coordonnées de :
- \(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \binom{5 + 3}{4 - 2} = \binom{8}{2}\)
- \(- \overrightarrow{v} = \binom{- 3}{- ( - 2)} = \binom{- 3}{2}\)
- \(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = \binom{5 - 3}{4 - ( - 2)} = \binom{2}{6}\)
- Représenter ces trois vecteurs et vérifier graphiquement ces résultats.
3 – Propriétés géométriques de la somme
Propriété 3 :
Pour tous points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) du plan, on a :
Pour tous points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) du plan, on a :
- Relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)
- Règle du parallélogramme : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\) \(\Leftrightarrow\) \(ABCD\) est un parallélogramme.
Exemple 3 :
À l'aide de la relation de Chasles, simplifier les expressions suivantes :
- \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}\)
- \(\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{KT} + \overrightarrow{TA} = \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{KA} = \overrightarrow{KA} + \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{KP}\)
- \(\overrightarrow{CM} + \overrightarrow{MR} + \overrightarrow{RC} = \overrightarrow{CC} = \overrightarrow{0}\)
- \(\overrightarrow{AZ} - \overrightarrow{EZ} + \overrightarrow{ET} = \overrightarrow{AZ} + \overrightarrow{ZE} + \overrightarrow{ET} = \overrightarrow{AT}\)
