1 – Repère du plan
Définition 1 :
Un repère du plan est la donnée de 3 points distincts \(O\), \(I\) et \(J\), qui servent de référence pour situer les autres points du plan. Il est noté \((O,I,J)\).
Un repère du plan est la donnée de 3 points distincts \(O\), \(I\) et \(J\), qui servent de référence pour situer les autres points du plan. Il est noté \((O,I,J)\).
Vocabulaire :
- Le point \(O\) est appelé l'origine du repère.
- La droite \((OI)\) est appelée l'axe des abscisses.
- La droite \((OJ)\) est appelée l'axe des ordonnées.
- Si \((OI) \bot (OJ)\), alors le repère est dit orthogonal.
- Si de plus \(OI = OJ\) alors le repère est dit orthonormé.
- \((O,I,J)\) est orthonormé \(\Rightarrow\) \((O,I,J)\) est orthogonal.
À chaque point \(M\) du plan est associé un système de coordonnées :
- L'abscisse du point \(M\) noté \(x_{M}\). Ex : \(x_{M} = 2\)
- L'ordonnée du point \(M\) noté \(y_{M}\). Ex : \(y_{M} = 3\)
2 – Coordonnées d'un vecteur
On se place dans un repère \((O,I,J)\).
Définition 2 :
On considère un vecteur \(\overrightarrow{u}\). Soit \(M\) le point de coordonnées \(M(x;y)\) tel que \(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{u}\) alors les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{u}\) sont celles du point \(M\). On note alors \(\overrightarrow{u}\binom{x}{y}\).
On considère un vecteur \(\overrightarrow{u}\). Soit \(M\) le point de coordonnées \(M(x;y)\) tel que \(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{u}\) alors les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{u}\) sont celles du point \(M\). On note alors \(\overrightarrow{u}\binom{x}{y}\).
Exemple 1 :
On considère le vecteur \(\overrightarrow{u}\) sur la figure ci-contre.On place le point \(M\) tel que \(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{u}\).
Le point \(M\) a pour coordonnées \(M(4;2)\).
Le vecteur \(\overrightarrow{u}\) a donc pour coordonnées \(\overrightarrow{u}\binom{4}{2}\).
Par convention, on note les coordonnées des points en ligne et ceux des vecteurs en colonne.
Lecture graphique : Lorsque le repère \((O;I;J)\) est orthonormé, on utilise le principe suivant pour lire graphiquement les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{u}\binom{x}{y}\) :
\(x \rightarrow\) Déplacement horizontal et \(y \rightarrow\) Déplacement vertical.
\(x \rightarrow\) Déplacement horizontal et \(y \rightarrow\) Déplacement vertical.
Exemple 2 :
- Lire les coordonnées des points \(A\) et \(B\) :
• \(A( - 1; - 2)\) • \(B( - 3; - 1)\) - Lire les coordonnées des vecteurs :
• \(\overrightarrow{u}\binom{- 4}{- 2}\) • \(\overrightarrow{v}\binom{4}{6}\)
• \(\overrightarrow{w}\binom{- 4}{0}\) • \(\overrightarrow{s}\binom{4}{- 3}\)
• \(\overrightarrow{t}\binom{0}{2}\) - Quels sont les coordonnées du vecteur nul ? \(\overrightarrow{0}\binom{0}{0}\)
- a. Représenter les vecteurs \(\overrightarrow{x}\binom{3}{2}\), \(\overrightarrow{y}\binom{- 1}{4}\) et \(\overrightarrow{z}\binom{2}{- 3}\).
b. Tracer le représentant d'origine \(A\) du vecteur \(\overrightarrow{a}\binom{- 2}{5}\).
c. Tracer le représentant d'extrémité \(B\) du vecteur \(\overrightarrow{b}\binom{- 1}{2}\).
Propriété 1 :
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils possèdent les mêmes coordonnées :
\(\overrightarrow{u}\binom{x}{y} = \overrightarrow{v}\binom{x'}{y'}\) si et seulement si \(x = x'\) et \(y = y'\).
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils possèdent les mêmes coordonnées :
\(\overrightarrow{u}\binom{x}{y} = \overrightarrow{v}\binom{x'}{y'}\) si et seulement si \(x = x'\) et \(y = y'\).
3 – Coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\)
Propriété 2 :
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées \(\binom{x_{B} - x_{A}}{y_{B} - y_{A}}\).
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées \(\binom{x_{B} - x_{A}}{y_{B} - y_{A}}\).
Exemple 3 :
On a \(A(1;1)\), \(B(4;3)\) et \(C(6;2)\). Calculer les coordonnées des vecteurs :
- \(\overrightarrow{AB} = \binom{x_{B} - x_{A}}{y_{B} - y_{A}} = \binom{4 - 1}{3 - 1} = \binom{3}{2}\)
- \(\overrightarrow{AC} = \binom{x_{C} - x_{A}}{y_{C} - y_{A}} = \binom{6 - 1}{2 - 1} = \binom{5}{1}\)
- \(\overrightarrow{BC} = \binom{x_{C} - x_{B}}{y_{C} - y_{B}} = \binom{6 - 4}{2 - 3} = \binom{2}{- 1}\)
4 – Norme d'un vecteur de coordonnées \(\overrightarrow{u}\binom{x}{y}\)
Propriété 3 :
Dans un repère orthonormé, la norme du vecteur \(\overrightarrow{u}\) de coordonnées \(\overrightarrow{u}\binom{x}{y}\) est égale à : \[\left\| \overrightarrow{u} \right\| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\]
Dans un repère orthonormé, la norme du vecteur \(\overrightarrow{u}\) de coordonnées \(\overrightarrow{u}\binom{x}{y}\) est égale à : \[\left\| \overrightarrow{u} \right\| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\]
Exemple 4 :
On reprend les vecteurs de l'exemple 3 :
- \(\left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \sqrt{3^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx 3{,}6\)
- \(\left\| \overrightarrow{AC} \right\| = \sqrt{5^{2} + 1^{2}} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \approx 5{,}1\)
- \(\left\| \overrightarrow{BC} \right\| = \sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2{,}2\)
Cette propriété provient du théorème de Pythagore :
\[\left\| \overrightarrow{u} \right\|^{2} = x^{2} + y^{2}\]
D'où \(\left\| \overrightarrow{u} \right\| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\).
Comme \(\overrightarrow{AB}\binom{x_{B} - x_{A}}{y_{B} - y_{A}}\) et que \(AB = \left\| \overrightarrow{AB} \right\|\) on en déduit une formule pour la distance \(AB\) :
\[AB = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}}\]
