Exercice 1 : Translation
Compléter le tableau suivant avec les points de la figure :
Correction — Exercice 1
Exercice 2 : Coordonnées - Lecture graphique
Lire graphiquement les coordonnées des vecteurs représentés ci-dessous.
Correction — Exercice 2
\(\overrightarrow{u}\binom{-6}{0}\) ; \(\overrightarrow{s}\binom{-2}{-3}\) ; \(\overrightarrow{v}\binom{4}{1}\) ; \(\overrightarrow{t}\binom{0}{-4}\)\(\overrightarrow{w}\binom{0}{2}\) ; \(\overrightarrow{x}\binom{2}{-5}\) ; \(\overrightarrow{y}\binom{3}{0}\) ; \(\overrightarrow{z}\binom{-4}{3}\)
Exercice 3 : Coordonnées - Calcul
On considère les points \(A(3;3)\), \(B(5;4)\), \(C(1;4)\) et \(D(2;1)\). Donner la direction, le sens et la longueur des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) puis calculer leurs coordonnées.
Correction — Exercice 3
\(A(3;3)\), \(B(5;4)\), \(C(1;4)\) et \(D(2;1)\).Vecteur \(\overrightarrow{AB}\) :
Direction : Droite \((AB)\) ; Sens : De \(A\) vers \(B\).
Longueur : \(AB = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}\) (Pythagore).
Coordonnées : \(\overrightarrow{AB}\binom{x_{B} - x_{A}}{y_{B} - y_{A}} = \binom{5 - 3}{4 - 3} = \binom{2}{1}\).
Vecteur \(\overrightarrow{CD}\) :
Direction : Droite \((CD)\) ; Sens : De \(C\) vers \(D\).
Longueur : \(CD = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}\) (Pythagore).
Coordonnées : \(\overrightarrow{CD}\binom{x_{D} - x_{C}}{y_{D} - y_{C}} = \binom{2 - 1}{1 - 4} = \binom{1}{-3}\).
Exercice 4 : Représentants 1
Soit les vecteurs \(\overrightarrow{u}\binom{5}{2}\), \(\overrightarrow{v}\binom{1}{- 3}\) et \(\overrightarrow{w}\binom{- 3}{- 2}\).
- Placer le point \(C\) tel que \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{u}\).
- a. Tracer le représentant d'origine \(B\) du vecteur \(\overrightarrow{v}\).
b. Donner un autre représentant du vecteur \(\overrightarrow{v}\). - Représenter le vecteur \(\overrightarrow{w}\) en choisissant comme origine le point \(O\) du repère.
- a. Placer le point \(D\) tel que \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\).
b. Quelle est la nature du quadrilatère \(ABDC\) ?
Correction — Exercice 4
Exercice 5 : Représentants 2
Soit les vecteurs \(\overrightarrow{u}\binom{4}{2}\), \(\overrightarrow{v}\binom{- 2}{- 3}\). On a tracé ci-dessous, plusieurs vecteurs. Déterminer ceux qui sont des représentants du vecteur \(\overrightarrow{u}\) et ceux qui sont des représentants du vecteur \(\overrightarrow{v}\).
Correction — Exercice 5
\(\overrightarrow{u}\binom{4}{2} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{GH}\)\(\overrightarrow{v}\binom{-2}{-3} = \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{KL}\)
Exercice 6 : Calcul
Calculer les coordonnées et la norme de \(\overrightarrow{AB}\) :
- \(A(1;2)\) et \(B(4;1)\)
- \(A( - 5;1)\) et \(B(6; - 2)\)
- \(A(10; - 5)\) et \(B(10;0)\)
- \(A( - 6;1)\) et \(B(6;1)\)
Correction — Exercice 6
a. \(\overrightarrow{AB}\binom{x_{B} - x_{A}}{y_{B} - y_{A}} = \binom{4 - 1}{1 - 2} = \binom{3}{-1}\)\(\left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \sqrt{3^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{10}\)
b. \(\overrightarrow{AB}\binom{x_{B} - x_{A}}{y_{B} - y_{A}} = \binom{6 - (-5)}{-2 - 1} = \binom{11}{-3}\)
\[\left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \sqrt{11^{2} + (-3)^{2}} = \sqrt{130}\] c. \(\overrightarrow{AB}\binom{x_{B} - x_{A}}{y_{B} - y_{A}} = \binom{10 - 10}{0 - (-5)} = \binom{0}{5}\)
\[\left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \sqrt{0^{2} + 5^{2}} = \sqrt{25} = 5\] d. \(A(-6;1)\) et \(B(6;1)\).
\(\overrightarrow{AB}\binom{x_{B} - x_{A}}{y_{B} - y_{A}} = \binom{6 - (-6)}{1 - 1} = \binom{12}{0}\)
\[\left\| \overrightarrow{AB} \right\| = \sqrt{12^{2} + 0^{2}} = \sqrt{144} = 12\]
Exercice 7 : Parallélogramme
Dans un repère \((O,I,J)\), on considère les points \(A(1;2)\), \(B(5;4)\), \(C(2;1)\), \(D( - 2; - 1)\).
- Faire une figure.
- Montrer que \(ABCD\) est un parallélogramme.
- Placer le point \(E(6;2)\). Déterminer les coordonnées du point \(F\) tel que \(CBEF\) soit un parallélogramme.
- Que dire du quadrilatère \(ADEF\) ? Justifier.
Correction — Exercice 7
\(A(1;2)\), \(B(5;4)\), \(C(2;1)\), \(D(-2;-1)\).
\(\overrightarrow{DC}\binom{x_{C} - x_{D}}{y_{C} - y_{D}} = \binom{2 - (-2)}{1 - (-1)} = \binom{4}{2}\).
Donc \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) et \(ABCD\) est un parallélogramme.
3. \(E(6;2)\). On cherche le point \(F(x_{F};y_{F})\).
Pour que \(CBEF\) soit un parallélogramme, il faut que \(\overrightarrow{CB}\binom{x_{B} - x_{C}}{y_{B} - y_{C}} = \overrightarrow{FE}\binom{x_{E} - x_{F}}{y_{E} - y_{F}}\), d'où :
\(\binom{5 - 2}{4 - 1} = \binom{6 - x_{F}}{2 - y_{F}}\) d'où \(\left\{ \begin{array}{l} 3 = 6 - x_{F} \\ 3 = 2 - y_{F} \end{array} \right.\) d'où \(\left\{ \begin{array}{l} x_{F} = 6 - 3 = 3 \\ y_{F} = 2 - 3 = -1 \end{array} \right.\)
Ainsi on a \(F(3;-1)\).
4. \(ADEF\) est un parallélogramme. En effet :
D'une part on a \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) car \(ABCD\) est un parallélogramme (d'après question 2).
D'autre part on a \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{FE}\) car \(CBEF\) est un parallélogramme (d'après question 3).
Ainsi on a \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{FE}\) (car ils sont tous les deux égaux à \(\overrightarrow{BC}\)) ce qui prouve que \(ADEF\) est un parallélogramme.
