1 – Définition
Introduction : La translation d'une figure est un glissement, sans rotation, retournement, ni déformation de cette figure. Pour décrire le déplacement lié à une translation nous allons introduire un nouvel objet mathématique.
Définition 1 :
Un vecteur \(\overrightarrow{u}\) est un objet mathématique qui se représente par une flèche.
Il est caractérisé par : Une direction, un sens et une longueur.
Un vecteur \(\overrightarrow{u}\) est un objet mathématique qui se représente par une flèche.
Il est caractérisé par : Une direction, un sens et une longueur.
Notation : La longueur d'un vecteur \(\overrightarrow{u}\) est appelée la norme de \(\overrightarrow{u}\) et elle est notée \(\left\| \overrightarrow{u} \right\|\).
Exemple 1 :
Trois vecteurs \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\)
Exemple 2 :
Le vecteur d'origine \(A\) et d'extrémité \(B\), noté \(\overrightarrow{AB}\).
- Direction : La droite \((AB)\)
- Sens : De \(A\) vers \(B\).
- Longueur : \(\left\| \overrightarrow{AB} \right\| = AB =\) Distance entre \(A\) et \(B\)
Exemple 3 :
Le vecteur nul noté \(\overrightarrow{0}\), qui ne possède ni sens, ni direction et qui est de longueur nulle.Il correspond à la translation sans déplacement, qui transforme chaque point en lui-même.
Application (Vecteur Force) : Les vecteurs sont utilisés aussi en Physique pour représenter la notion de force.
- Direction : Orientation de la force
- Sens : Vers où la force agit
- Norme : Intensité de la force (mesurée en Newton).
- Point d'application : Endroit où la force s'exerce
2 – Égalité de deux vecteurs
Définition 2 :
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même longueur.
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même longueur.
Exemple 4 :
- Tous les vecteurs ci-contre sont égaux : \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{CC'}\)
- On dit que le vecteur \(\overrightarrow{AA'}\) est le représentant du vecteur \(\overrightarrow{u}\) d'origine \(A\).
- On dit que le vecteur \(\overrightarrow{BB'}\) est le représentant du vecteur \(\overrightarrow{u}\) d'extrémité \(B'\).
- Un vecteur possède une infinité de représentants.
On a \(\overrightarrow{AA} = \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{CC} = \ldots = \overrightarrow{0}\)
Propriété 1 :
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) si et seulement si \(ABDC\) est un parallélogramme.
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) si et seulement si \(ABDC\) est un parallélogramme.
Exemple 5 :
Dans l'exemple 4, \(\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'}\) donc \(AA'B'B\) est un parallélogramme.
