Exercice 1 : Représenter \(k.\overrightarrow{u}\)

Placer les points \(M\), \(N\) et \(P\) tel que :
\(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\) ; \(\overrightarrow{AN} = - \frac{2}{3}\overrightarrow{v}\) ; \(\overrightarrow{AP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{u} - \frac{2}{3}\overrightarrow{v}\)

Quadrillage avec les vecteurs u et v et le point A

Correction — Exercice 1

Correction : points M, N et P placés sur le quadrillage

Exercice 2 : Coordonnées

Déterminer les coordonnées des vecteurs :

Correction — Exercice 2

a. \(\overrightarrow{u}\binom{1}{-4}\)
b. \(\overrightarrow{v}\binom{-3}{3}\)
c. \(3\overrightarrow{u}\binom{3 \times 1}{3 \times (-4)} = \binom{3}{-12}\)
d. \(-2\overrightarrow{v}\binom{-2 \times (-3)}{-2 \times 3} = \binom{6}{-6}\)
e. \(-\dfrac{1}{5}\overrightarrow{u}\binom{-0{,}2 \times 1}{-0{,}2 \times (-4)} = \binom{-0{,}2}{0{,}8}\)
f. \(3\overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v} = 3\overrightarrow{u} + (-2\overrightarrow{v}) = \binom{3 + 6}{-12 - 6} = \binom{9}{-18}\)

Exercice 3 : Lecture graphique

Dans chacun des cas, compléter les égalités suivantes en utilisant un nombre réel.

Figures avec des vecteurs proportionnels à identifier

Correction — Exercice 3

Correction : vecteurs proportionnels avec coefficients

Exercice 4 : Droite graduée

Sur une droite graduée, on a placé les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) et \(E\). Dans chacun des cas trouver le nombre réel \(k\) tel que \(\overrightarrow{v} = k.\overrightarrow{u}\).

Droite graduée avec les points A, B, C, D et E

\(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AE}\)
\(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{BE}\)
\(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{EC}\) et \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{CD}\) et \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{DE}\)

Correction — Exercice 4

Correction : droite graduée avec les points B, D, A, C, E

a. \(\overrightarrow{AB} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AE}\)
b. \(\overrightarrow{AD} = -\dfrac{1}{9}\overrightarrow{BE}\)
c. \(\overrightarrow{EC} = \dfrac{4}{3}\overrightarrow{AB}\)
d. \(\overrightarrow{CD} = -\dfrac{3}{7}\overrightarrow{DE}\)

Exercice 5 : Circuit

Les vecteurs \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{w}\) et \(\overrightarrow{t}\) sont représentés sur la figure ci-dessous. À partir du point \(O\), on définit un « circuit » par les égalités vectorielles suivantes :
\(\overrightarrow{OA} = 2\overrightarrow{u}\) ; \(\overrightarrow{AB} = - 2\overrightarrow{w}\) ; \(\overrightarrow{BC} = - 4\overrightarrow{u}\) ; \(\overrightarrow{CD} = - 2\overrightarrow{v}\) ;
\(\overrightarrow{DE} = 2\overrightarrow{w}\) ; \(\overrightarrow{EF} = - 2\overrightarrow{t}\) ; \(\overrightarrow{FG} = - 3\overrightarrow{w}\)

Repère avec les vecteurs u, v, w et t pour le circuit

Placer les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) et \(G\).
Exprimer les vecteurs \(\overrightarrow{t}\) et \(\overrightarrow{w}\) en fonction des vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\).
a. Exprimer \(\overrightarrow{OG}\) en fonction de \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\).
b. Vérifier graphiquement votre résultat.

Correction — Exercice 5

Correction : circuit vectoriel avec les points A à G

2. \(\overrightarrow{t} = - \overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w} = - 2\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\).
3.
a. D'après la relation de Chasles :
\(\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG}\)
\(= 2\overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{w} - 4\overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v} + 2\overrightarrow{w} - 2\overrightarrow{t} - 3\overrightarrow{w}\)
\(= -2\overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v} - 3\overrightarrow{w} - 2\overrightarrow{t}\)
\(= -2\overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v} - 3(-2\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) - 2(-\overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v})\)
\(= -2\overrightarrow{u} - 2\overrightarrow{v} + 6\overrightarrow{u} - 3\overrightarrow{v} + 2\overrightarrow{u} + 4\overrightarrow{v}\)
\(= 6\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\)
b. Ok car les coordonnées de \(\overrightarrow{OG}\) dans la base \((\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})\) sont bien \(\overrightarrow{OG}\binom{6}{-1}\).

Exercice 6 : Réduire

Dans chaque cas, réduire l'expression suivante :

Correction — Exercice 6

a. \(2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) + \overrightarrow{CA} = 2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\)
b. \(5\overrightarrow{EF} - 3(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{EF}) + 2(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{EF})\)
\(= 5\overrightarrow{EF} - 3\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{EF} + 2\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{EF}\)
\(= -\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}\)
c. \(\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC} = 2(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = 2\overrightarrow{AC}\)
d. \(3\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{DE} - \overrightarrow{DF} + 3\overrightarrow{FA}\)
\(= 3\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{FD} + 3\overrightarrow{FA}\)
\(= 3(\overrightarrow{FA} + \overrightarrow{AE}) + \overrightarrow{FD} + \overrightarrow{DE}\)
\(= 3\overrightarrow{FE} + \overrightarrow{FE} = 4\overrightarrow{FE}\)

Exercice 7 : Segment 1

Tracer un segment \([AB]\) de longueur \(6\ cm\).
Placer les points \(C\), \(D\), \(E\) tel que :
\(\overrightarrow{AC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\) ; \(\overrightarrow{BD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) ; \(\overrightarrow{AE} = - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
Trouver les nombres \(x\), \(y\) et \(z\) tel que :
\(\overrightarrow{AD} = x\overrightarrow{AB}\) ; \(\overrightarrow{BE} = y\overrightarrow{AB}\) ; \(\overrightarrow{CD} = z\overrightarrow{BE}\)

Correction — Exercice 7

Correction : segment avec les points E, A, C, B, D placés

\(\overrightarrow{AD} = \dfrac{9}{6}\overrightarrow{AB} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB} = 1{,}5\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{BE} = -\dfrac{9}{6}\overrightarrow{AB} = -\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB} = -1{,}5\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{CD} = -\dfrac{7}{9}\overrightarrow{BE}\)

Exercice 8 : Segment 2

Soit \([AB]\) un segment de longueur \(10\ cm\).
On considère le point \(D\) tel que : \(\overrightarrow{DA} + 4\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{0}\).

Montrer que \(\overrightarrow{AD} = \frac{4}{5}\overrightarrow{AB}\).
Construire le point \(D\).

Correction — Exercice 8

Correction : segment AB avec le point D placé

\[\overrightarrow{DA} + 4\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{0}\] \[\Longleftrightarrow \overrightarrow{DA} + 4\overrightarrow{DA} + 4\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}\] \[\Longleftrightarrow 5\overrightarrow{DA} + 4\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}\] \[\Longleftrightarrow 5\overrightarrow{DA} = -4\overrightarrow{AB}\] \[\Longleftrightarrow -5\overrightarrow{AD} = -4\overrightarrow{AB}\] \(\Longleftrightarrow \overrightarrow{AD} = \dfrac{-4}{-5}\overrightarrow{AB} = \dfrac{4}{5}\overrightarrow{AB}\)

Exercice 9 : Dans un repère

Soient les points \(A(4;2)\), \(B( - 2;1)\), \(C( - 3;5)\) ainsi que le point \(M(x;y)\) tel que \(\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}\).

Faire une figure.
Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et de \(\overrightarrow{AM}\).
En déduire par le calcul les coordonnées de \(M\).

Correction — Exercice 9

Correction : repère avec les points A, B, C et M

2. \(\overrightarrow{AB}\binom{x_{B} - x_{A}}{y_{B} - y_{A}} = \binom{-2 - 4}{1 - 2} = \binom{-6}{-1}\)
\(\overrightarrow{AC}\binom{x_{C} - x_{A}}{y_{C} - y_{A}} = \binom{-3 - 4}{5 - 2} = \binom{-7}{3}\)
\[\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}\] \(= \binom{2 \times (-6) - 3 \times (-7)}{2 \times (-1) - 3 \times 3} = \binom{9}{-11}\)
3. On cherche \(M(x_{M};y_{M})\) tel que \(\overrightarrow{AM} = \binom{9}{-11}\).
\(\binom{x_{M} - 4}{y_{M} - 2} = \binom{9}{-11}\)
\(\left\{ \begin{array}{l} x_{M} = 9 + 4 = 13 \\ y_{M} = -11 + 2 = -9 \end{array} \right.\)
On obtient donc \(M(13;-9)\).

Exercices n°3 — Produit d'un vecteur par un nombre