Activité — Activités - Variables aléatoires

1) a. Justifier que \(X\) est une variable aléatoire.
b. Quels sont les valeurs possibles pour \(X\) ?

2) a. Combien y a-t-il de combinaisons possibles ?
b. Calculer la probabilité d'obtenir \(3\) fruits identiques.
c. Calculer la probabilité d'obtenir \(2\) fruits identiques.
d. Calculer la probabilité de ne pas obtenir de fruits identiques.

3) a. Compléter le tableau suivant :
Ce tableau représente ce qu'on appelle la loi de probabilité de \(X\). Il précise avec quelle probabilité la variable prend telle valeur.

b. Calculer \(P(X \geq 0)\) puis interpréter le résultat.
c. Que se passe-t-il si l'on effectue la somme des probabilités du tableau ?

4) Nous allons maintenant simuler cette expérience aléatoire à l'aide d'un tableur. Dans la plage de cellules \(E2 : I4\) on calcule le nombre et la fréquence des parties où le joueur perd \(1\) euro, gagne \(1\) euro ou gagne \(19\) euros. Comparer les fréquences obtenues avec les probabilités théoriques.

5) On souhaite maintenant savoir combien gagne (ou perd) t-on en moyenne par partie.

a. A l'aide de la simulation et des fonctions du tableur, estimer le gain moyen du joueur par partie. Ce nombre est appelé espérance de la variable \(X\) et noté \(E(X)\). C'est la valeur moyenne de \(X\) lorsque l'expérience est répétée un grand nombre de fois. Il correspond à ce que le joueur peut « espérer » gagner par partie.

b. Retrouver par le calcul le gain moyen du joueur.

1) La boule effectue le chemin suivant \(GDDG\). Dans quel casier terminera-t-elle sa course ?

2) Quels sont les chemins qui mènent à chaque casier ? 3) Modéliser la planche de Galton à l'aide d'un arbre pondéré.

4) On note \(\binom{4}{k}\) le nombre de chemin(s) où la boule est allée exactement \(k\) fois à gauche.

Compléter : \(\binom{4}{0} =\)   \(\binom{4}{1} =\)   \(\binom{4}{2} =\)   \(\binom{4}{3} =\)   \(\binom{4}{4} =\)

5) En déduire la probabilité pour une bille d'arriver dans chacun des casiers.

On considère le tableau ci-dessous. Les « \(1\) » qui sont placés dans ce tableau délimitent un « triangle » que nous allons compléter avec des nombres de la façon suivante : Chaque nombre du triangle s'obtient en additionnant deux nombres de la ligne précédente : Celui du dessus avec celui de la colonne précédente. 1) Compléter le tableau ci-dessus.

2) Faites le lien entre la 5^e ligne du tableau et les valeurs trouvées lors de l'activité 2.

3) A l'aide du tableau déterminer les coefficients \(\binom{3}{2}\) ; \(\binom{5}{3}\) ; \(\binom{9}{5}\) ; \(\binom{10}{4}\).

4) On considère une planche de Galton à \(8\) étages de clous.
Quelle est la probabilité que la bille tombe dans le casier du milieu ?