1 – Schéma de Bernoulli et loi binomiale
- Epreuve de Bernoulli : Expérience aléatoire à deux issues : Succès noté \(S\) et Echec noté \(\overline{S}\).
On note \(p\) la probabilité du succès et \(q\) celle de l'échec : \(P(S) = p\) et \(P(\overline{S}) = q = 1 - p\). - Schéma de Bernoulli : On répète \(n\) fois cette épreuve de façon identique et indépendante.
Définition 1 :
Soit \(X\) la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli. On dit alors que \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\) et on note \(X \sim \mathcal{B}(n ; p)\).
Soit \(X\) la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli. On dit alors que \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\) et on note \(X \sim \mathcal{B}(n ; p)\).
Exemple 1 :
Cette expérience aléatoire est une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p = \dfrac{1}{6}\).
On a pour succès \(S =\) « Obtenir un \(6\) » et pour échec \(\overline{S} =\) « Ne pas obtenir un \(6\) ».
La probabilité du succès est \(P(S) = \dfrac{1}{6}\). La probabilité de l'échec est \(P(\overline{S}) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\).
Exemple 2 :
On lance \(3\) fois de suite un dé bien équilibré. Soit \(X\) le nombre de « \(6\) » obtenus sur les \(3\) lancers.
- Justifier que cette expérience est un schéma de Bernoulli.
On a \(n = 3\) et chaque lancer est indépendant des autres. - Quelle est la loi suivie par la variable \(X\) ?
\(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 3\) et \(p = \dfrac{1}{6}\) : \(X \sim \mathcal{B}\left(3 ; \dfrac{1}{6}\right)\) - Quelles sont les valeurs possibles pour \(X\) ?
Les valeurs possibles pour \(X\) sont \(0\), \(1\), \(2\) et \(3\). - Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
- A l'aide de l'arbre, calculer la loi de \(X\).
\(= \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} = \left(\dfrac{1}{6}\right)^{3}\)
\(= \dfrac{1}{216} \approx 0{,}004\).
\(\bullet\) \(P(X = 2) = P(SS\overline{S}) + P(S\overline{S}S) + P(\overline{S}SS)\) \(= \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6}\)
\(= 3 \times \left(\dfrac{1}{6}\right)^{2} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{216} \approx 0{,}069\).
\(\bullet\) \(P(X = 1) = P(S\overline{S}\,\overline{S}) + P(\overline{S}S\overline{S}) + P(\overline{S}\,\overline{S}S)\) \(= \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6} + \dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} + \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{6}\)
\(= 3 \times \dfrac{1}{6} \times \left(\dfrac{5}{6}\right)^{2} = \dfrac{75}{216} \approx 0{,}347\).
\(\bullet\) \(P(X = 0) = P(\overline{S}\,\overline{S}\,\overline{S})\)
\(= \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6} \times \dfrac{5}{6} = \left(\dfrac{5}{6}\right)^{3}\)
\(= \dfrac{125}{216} \approx 0{,}578\).
| \(k\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| \(P(X = k)\) | \(\dfrac{125}{216}\) | \(\dfrac{75}{216}\) | \(\dfrac{15}{216}\) | \(\dfrac{1}{216}\) | \(1\) |
2 – Coefficients binomiaux
Définition 2 :
Le coefficient binomial \(\displaystyle\binom{n}{k}\) (avec \(0 \leq k \leq n\)) est le nombre de chemins qui mènent à \(k\) succès pour \(n\) répétitions dans l'arbre d'un schéma de Bernoulli.
Le coefficient binomial \(\displaystyle\binom{n}{k}\) (avec \(0 \leq k \leq n\)) est le nombre de chemins qui mènent à \(k\) succès pour \(n\) répétitions dans l'arbre d'un schéma de Bernoulli.
Exemple 3 :
D'après l'arbre précédent on peut affirmer : \(\displaystyle\binom{3}{0} = 1\) ; \(\displaystyle\binom{3}{1} = 3\) ; \(\displaystyle\binom{3}{2} = 3\) et \(\displaystyle\binom{3}{3} = 1\).
Triangle de Pascal : En pratique, on utilise le triangle de Pascal pour déterminer les \(\displaystyle\binom{n}{k}\) :
| \(n \backslash k\) | \(\mathbf{0}\) | \(\mathbf{1}\) | \(\mathbf{2}\) | \(\mathbf{3}\) | \(\mathbf{4}\) | \(\mathbf{5}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\mathbf{0}\) | \(1\) | |||||
| \(\mathbf{1}\) | \(1\) | \(1\) | ||||
| \(\mathbf{2}\) | \(1\) | \(2\) | \(1\) | |||
| \(\mathbf{3}\) | \(1\) | \(3\) | \(3\) | \(1\) | ||
| \(\mathbf{4}\) | \(1\) | \(4\) | \(6\) | \(4\) | \(1\) | |
| \(\mathbf{5}\) | \(1\) | \(5\) | \(10\) | \(10\) | \(5\) | \(1\) |
Exemple 4 :
On peut lire par exemple que : \(\displaystyle\binom{2}{0} = 1\) ; \(\displaystyle\binom{4}{1} = 4\) ; \(\displaystyle\binom{4}{3} = 4\) ; \(\displaystyle\binom{5}{2} = 10\).
Propriété 1 :
Soit \(n\) un entier naturel et \(k\) un entier naturel tel que \(k \leq n - 1\).
Soit \(n\) un entier naturel et \(k\) un entier naturel tel que \(k \leq n - 1\).
- On a \(\displaystyle\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1\)
- On a \(\displaystyle\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n\)
- Formule de Pascal : \(\displaystyle\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}\)
3 – Propriétés de la loi binomiale
Propriété 2 :
Si \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\), alors pour tout \(k\) compris entre \(0\) et \(n\) on a :
\(P(X = k) = \displaystyle\binom{n}{k} \times p^{k} \times q^{n-k}\) avec \(q = 1 - p\)
Si \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\), alors pour tout \(k\) compris entre \(0\) et \(n\) on a :
\(P(X = k) = \displaystyle\binom{n}{k} \times p^{k} \times q^{n-k}\) avec \(q = 1 - p\)
Remarque : On pourra retenir plutôt le principe suivant :
\(P(X = k) = \underbrace{\displaystyle\binom{n}{k}}_{\text{Nb de chemins}} \times p^{\text{Nb de succès}} \times q^{\text{Nb d'échecs}}\)
\(P(X = k) = \underbrace{\displaystyle\binom{n}{k}}_{\text{Nb de chemins}} \times p^{\text{Nb de succès}} \times q^{\text{Nb d'échecs}}\)
Exemple 5 :
On lance 5 fois un dé bien équilibré. Quelle est la probabilité d'avoir exactement trois « 6 » ?Soit \(X\) le nombre de « 6 » obtenus lors des \(5\) lancers alors \(X\) suit la loi binomiale : \(X \sim \mathcal{B}\left(5 ; \dfrac{1}{6}\right)\).
Pour obtenir exactement \(3\) fois la face « \(6\) », on doit avoir \(3\) succès et \(2\) échecs.
Le triangle de Pascal nous permet de déterminer le nombre de chemins menant vers \(3\) succès : \(\displaystyle\binom{5}{3} = 10\). \(P(X = 3) = \displaystyle\binom{5}{3} \times \left(\dfrac{1}{6}\right)^{3} \times \left(\dfrac{5}{6}\right)^{2}\)
\(= 10 \times \dfrac{1}{216} \times \dfrac{25}{36} = \dfrac{250}{7776} = \dfrac{125}{3888} \approx 0{,}032\) soit environ \(3{,}2\,\%\).
Propriété 3 :
Si \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\), alors \(E(X) = n \times p\).
Si \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\), alors \(E(X) = n \times p\).
Exemple 6 :
Quel est le nombre moyen de « \(6\) » sur 5 lancers ?Le nombre moyen est donné par l'espérance de la variable \(X\) définie dans l'exemple précédent.
Comme \(X \sim \mathcal{B}\left(5 ; \dfrac{1}{6}\right)\) on a \(E(X) = 5 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6} \approx 0{,}83\). On obtient en moyenne \(0{,}83\) fois « \(6\) » sur \(5\) lancers.
