1 – La notion de variable aléatoire
Définition 1 :
Soit \(\Omega\) l'univers d'une expérience aléatoire.
Soit \(\Omega\) l'univers d'une expérience aléatoire.
- Une variable aléatoire \(X\) est une fonction qui à chaque issue \(w\) de \(\Omega\) associe un unique nombre réel.
- Soit \(E = \{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\}\) l'ensemble des valeurs prises par \(X\). On appelle loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\), la donnée de toutes les probabilités \(P(X = x_{i})\) où \(x_{i}\) prend toutes les valeurs de \(E\).
Remarque : On présente souvent la loi de probabilité d'une variable aléatoire sous la forme d'un tableau :
| \(x_{i}\) | \(x_{1}\) | \(x_{2}\) | \(\ldots\) | \(x_{n}\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X = x_{i})\) | \(p_{1}\) | \(p_{2}\) | \(\ldots\) | \(p_{n}\) |
Exemple 1 :
On considère le jeu suivant : On lance un dé bien équilibré. Si le dé tombe sur « \(1\) » alors on gagne \(1\) $, si le dé tombe sur « \(6\) » on gagne \(6\) $, sinon on perd \(2\) $. Soit \(X\) le gain du joueur.
- L'univers est \(\Omega = \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6\}\).
- Les valeurs possibles pour \(X\) sont \(-2\), \(1\) et \(6\).
- L'évènement « \(X = -2\) » correspond à l'évènement \(\{2, 3, 4, 5\}\).
- L'évènement « \(X \geq 0\) » correspond à l'évènement \(\{1, 6\}\).
- La loi de \(X\) est donnée par le tableau suivant :
| \(x_{i}\) | \(-2\) | \(1\) | \(6\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X = x_{i})\) | \(\dfrac{4}{6}\) | \(\dfrac{1}{6}\) |
2 – Espérance d'une variable aléatoire
Définition 2 :
On appelle espérance de la variable aléatoire \(X\) le nombre, noté \(E(X)\), donné par :
\(E(X) = x_{1}p_{1} + x_{2}p_{2} + \ldots + x_{n}p_{n}\)
\(= \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i}p_{i}\)
On appelle espérance de la variable aléatoire \(X\) le nombre, noté \(E(X)\), donné par :
\(E(X) = x_{1}p_{1} + x_{2}p_{2} + \ldots + x_{n}p_{n}\)
\(= \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_{i}p_{i}\)
Remarque : L'espérance \(E(X)\) peut s'interpréter comme la valeur moyenne prise par la variable \(X\) lorsque l'on répète un grand nombre de fois l'expérience aléatoire.
Exemple 2 :
Calculer l'espérance de la variable aléatoire \(X\) définie dans l'Exemple 1 et interpréter le résultat.On a \(E(X) = (-2) \times \dfrac{4}{6} + 1 \times \dfrac{1}{6} + 6 \times \dfrac{1}{6}\)
\(= -\dfrac{1}{6} \approx -0{,}16\).
Cela signifie qu'en moyenne le joueur perdra \(0{,}16\) € par partie.
Remarques :
- Lorsque \(E(X) = 0\), on dit que le jeu est équitable.
- Dans la majorité des jeux de hasard de la vie réelle (la roulette, le loto, les tickets à gratter, etc.), l'espérance du joueur est négative : ce que l'on perd en moyenne correspond à ce que gagne l'organisateur du jeu.
