Activité 1 (Machine à sous) - Correction
Une machine à sous fonctionne de la manière suivante : On insère une pièce de \(1\) euro dans la machine, le rouleau de la machine tourne et on obtient une combinaison de \(3\) images de fruits.
Il y a \(10\) images de fruits différentes (banane, raisin, pomme, poire, cerise, fraise, framboise, ananas, orange, kiwi). On gagne \(20\) euros lorsque l'on obtient \(3\) fruits identiques, \(2\) euros lorsque l'on obtient 2 fruits identiques et sinon on perd notre mise.
On note \(X\) le gain du joueur sur une partie.
Il y a \(10\) images de fruits différentes (banane, raisin, pomme, poire, cerise, fraise, framboise, ananas, orange, kiwi). On gagne \(20\) euros lorsque l'on obtient \(3\) fruits identiques, \(2\) euros lorsque l'on obtient 2 fruits identiques et sinon on perd notre mise.
On note \(X\) le gain du joueur sur une partie.
1)
a. \(X\) est une variable aléatoire car sa valeur dépend du hasard.
b. Les valeurs possibles pour \(X\) sont \(19\) euros, \(1\) euro ou \(-1\) euro : Le gain du joueur correspond en effet à ce que la machine à sous donne moins la mise de départ de \(1\) euro.
2)
a. Il y a \(3\) images sur le rouleau et \(10\) images de fruits différentes donc :
\(10 \times 10 \times 10 = 1\,000\) combinaisons possibles.
b. Il y a \(10\) combinaisons avec \(3\) fruits identiques : La probabilité est donc de \(\dfrac{10}{1\,000} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01 = 1\,\%\).
c. Commençons par compter le nombre de combinaisons avec par exemple deux bananes :
Les deux bananes \((B)\) peuvent être associées aux \(9\) autres fruits \((X)\) et il y a à chaque fois \(3\) combinaisons possibles : \(BBX\) ; \(BXB\) et \(XBB\). On a donc \(3 \times 9 = 27\) combinaisons avec \(2\) bananes.
Comme il y a \(10\) fruits différents, on obtient \(27 \times 10 = 270\) combinaisons avec \(2\) fruits identiques.
La probabilité est donc de \(\dfrac{270}{1\,000} = \dfrac{27}{100} = 0{,}27 = 27\,\%\).
d. La probabilité de ne pas avoir de fruits identiques est de \(1 - 0{,}27 - 0{,}01 = 0{,}72 = 72\,\%\).
3)
a. Compléter le tableau suivant :
| Gains | \(19\) | \(1\) | \(-1\) |
| Probabilités | \(0{,}01\) | \(0{,}27\) | \(0{,}72\) |
b. \(P(X \geq 0) = P(X = 19) + P(X = 1)\)
\(= 0{,}01 + 0{,}27 = 0{,}28\).
Le joueur a \(28\,\%\) de chance de gagner de l'argent.
c. On trouve \(1 = 100\,\%\) : \(0{,}01 + 0{,}27 + 0{,}72 = 1\).
4)
Les fréquences observées sont très proches des probabilités calculées à la question précédente.
5)
a. Le gain moyen du joueur est donné par la moyenne de ses gains sur les \(10\,000\) parties.
On trouve environ \(E(X) = -0{,}2708\) euros (varie légèrement entre deux simulations).
b. On calcule
\(E(X) = 19 \times 0{,}01 + 1 \times 0{,}27 - 1 \times 0{,}72 = -0{,}26\) euros.
Cela signifie qu'en moyenne le joueur perdra \(0{,}26\) euros par partie.
Activité 2 (Planche de Galton) - Correction
Lorsque la bille tombe sur un clou elle a autant de chance d'aller à gauche qu'à droite. On lâche la bille jaune sur le premier clou et on s'intéresse au chemin qu'elle effectue jusqu'aux casiers M, N, P, Q et R.
1)
Dans le casier \(P\).
2)
Quels sont les chemins qui mènent à chaque casier ?
| Casier M | Casier N | Casier P | Casier Q | Casier R |
| \(GGGG\) | \(GGGD\) ; \(GGDG\) \(GDGG\) ; \(DGGG\) | \(GGDD\) ; \(DDGG\) \(GDGD\) ; \(DGDG\) \(GDDG\) ; \(DGGD\) | \(DDDG\) ; \(DDGD\) \(DGDD\) ; \(GDDD\) | \(DDDD\) |
3)
Chaque branche a pour probabilité \(\dfrac{1}{2} = 0{,}5\).
4)
On note \(\binom{4}{k}\) le nombre de chemin(s) où la boule est allée exactement \(k\) fois à gauche.
Compléter : \(\binom{4}{0} = 1\) \(\binom{4}{1} = 4\) \(\binom{4}{2} = 6\) \(\binom{4}{3} = 4\) \(\binom{4}{4} = 1\)
5)
Casier \(M\) :
\(p = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}\)
\(= \left( \dfrac{1}{2} \right)^{4} = \dfrac{1}{16} = 0{,}0625 = 6{,}25\,\%\)
Casier \(N\) : \(p = 4 \times \left( \dfrac{1}{2} \right)^{4}\)
\(= \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\,\%\)
Casier \(P\) : \(p = 6 \times \left( \dfrac{1}{2} \right)^{4}\)
\(= \dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8} = 0{,}375 = 37{,}5\,\%\)
Casier \(Q\) : \(p = 4 \times \left( \dfrac{1}{2} \right)^{4}\)
\(= \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\,\%\)
Casier \(R\) : \(p = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{4} = \dfrac{1}{16} = 0{,}0625 = 6{,}25\,\%\)
Activité 3 (Triangle de Pascal) - Correction
On considère le tableau ci-dessous. Les « \(1\) » qui sont placés dans ce tableau délimitent un « triangle » que nous allons compléter avec des nombres de la façon suivante : Chaque nombre du triangle s'obtient en additionnant deux nombres de la ligne précédente : Celui du dessus avec celui de la colonne précédente.
| \(n \backslash k\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0 | \(1\) | |||||||||
| 1 | \(1\) | \(1\) | ||||||||
| 2 | \(1\) | \(2\) | \(1\) | |||||||
| 3 | \(1\) | \(3\) | \(\mathbf{3}\) | \(1\) | ||||||
| 4 | \(1\) | \(4\) | \(6\) | \(4\) | \(1\) | |||||
| 5 | \(1\) | \(5\) | \(10\) | \(\mathbf{10}\) | \(5\) | \(1\) | ||||
| 6 | \(1\) | \(6\) | \(15\) | \(20\) | \(15\) | \(6\) | \(1\) | |||
| 7 | \(1\) | \(7\) | \(21\) | \(35\) | \(35\) | \(21\) | \(7\) | \(1\) | ||
| 8 | \(1\) | \(8\) | \(28\) | \(56\) | \(70\) | \(56\) | \(28\) | \(8\) | \(1\) | |
| 9 | \(1\) | \(9\) | \(36\) | \(84\) | \(\mathbf{126}\) | \(\mathbf{126}\) | \(84\) | \(36\) | \(9\) | \(1\) |
| 10 | \(210\) |
1)
Voir ci-dessus.
2)
On retrouve : \(\binom{4}{0} = 1\) \(\binom{4}{1} = 4\) \(\binom{4}{2} = 6\) \(\binom{4}{3} = 4\) \(\binom{4}{4} = 1\)
3)
\(\binom{3}{2} = 3\) ; \(\binom{5}{3} = 10\) ; \(\binom{9}{5} = 126\) ; \(\binom{10}{4} = 210\) \((84 + 126)\).
4)
Avec \(8\) étages de clous, pour arriver dans le casier du milieu, la bille doit aller \(4\) fois à gauche et \(4\) fois à droite. Il y a \(\binom{8}{4} = 56\) chemins possibles. Chaque chemin a pour probabilité \(\left( \dfrac{1}{2} \right)^{8} = \dfrac{1}{256}\).
Donc la probabilité que la bille aille au milieu est de \(\dfrac{56}{256} = \dfrac{7}{32} = 0{,}21875 = 21{,}875\,\%\).
