1 – Limites des fonctions de références
Fonction constante : \(f(x) = k\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = k\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = k\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = k\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = k\)
Fonction identité : \(f(x) = x\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty\)
Fonction carré : \(f(x) = x^{2}\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = +\infty\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = +\infty\)
Fonction cube : \(f(x) = x^{3}\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty\)
Fonction racine carrée : \(f(x) = \sqrt{x}\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x) = 0\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x) = 0\)
Fonction inverse : \(f(x) = \dfrac{1}{x}\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = 0\) ; \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 0\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = +\infty\) ; \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = -\infty\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = 0\) ; \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 0\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = +\infty\) ; \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = -\infty\)
Fonction valeur absolue : \(f(x) = |x|\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = +\infty\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = +\infty\)
Fonction exponentielle : \(f(x) = e^{x}\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 0\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 0\)
Fonctions cosinus et sinus : \(f(x) = \cos x \text{ ou } f(x) = \sin x\)
Pas de limite en \(+\infty\)
Pas de limite en \(-\infty\)
Pas de limite en \(+\infty\)
Pas de limite en \(-\infty\)
Remarques :
• Les fonctions puissances \(x \mapsto x^{n}\) (\(n\) entier, \(n \geq 1\)) ont les mêmes limites en \(\pm\infty\) que la fonction carré si \(n\) est pair, que la fonction cube si \(n\) est impair.
• L'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe de la fonction inverse (en \(+\infty\) et en \(-\infty\)) et à celle de la fonction exponentielle (en \(-\infty\)). L'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe de la fonction inverse en \(0\).
• Les fonctions puissances \(x \mapsto x^{n}\) (\(n\) entier, \(n \geq 1\)) ont les mêmes limites en \(\pm\infty\) que la fonction carré si \(n\) est pair, que la fonction cube si \(n\) est impair.
• L'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe de la fonction inverse (en \(+\infty\) et en \(-\infty\)) et à celle de la fonction exponentielle (en \(-\infty\)). L'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe de la fonction inverse en \(0\).
2 – Démonstration : croissances comparées
Théorème : Pour tout entier \(n \geq 1\) : \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{e^{x}}{x^{n}} = +\infty\) et \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x^{n}e^{x} = 0\).
Démonstration
Étape 1 : Montrons que pour tout réel \(x \geq 0\), \(e^{x} > x\).Soit \(g\) la fonction définie sur \([0\ ;\ +\infty[\) par \(g(x) = e^{x} - x\).
Elle est dérivable et \(g'(x) = e^{x} - 1 \geq 0\) car \(e^{x} \geq e^{0} = 1\) pour \(x \geq 0\).
Donc \(g\) est croissante sur \([0\ ;\ +\infty[\) : pour tout \(x \geq 0\), \(g(x) \geq g(0) = 1 > 0\), c'est-à-dire \(e^{x} > x\).
Étape 2 : Limite en \(+\infty\). Soit \(n \geq 1\) un entier et \(x > 0\).
D'après l'étape 1 appliquée au réel \(\dfrac{x}{n + 1}\) : \(e^{\frac{x}{n + 1}} > \dfrac{x}{n + 1} > 0\).
La fonction \(t \mapsto t^{n + 1}\) est strictement croissante sur \([0\ ;\ +\infty[\) donc \(\left( e^{\frac{x}{n + 1}} \right)^{n + 1} > \left( \dfrac{x}{n + 1} \right)^{n + 1}\), soit \(e^{x} > \dfrac{x^{n + 1}}{(n + 1)^{n + 1}}\).
En divisant par \(x^{n} > 0\) : \(\dfrac{e^{x}}{x^{n}} > \dfrac{x}{(n + 1)^{n + 1}}\). Or \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{x}{(n + 1)^{n + 1}} = +\infty\) donc, par comparaison, \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{e^{x}}{x^{n}} = +\infty\).
Étape 3 : Limite en \(-\infty\). On pose \(X = -x\), de sorte que \(X \rightarrow +\infty\) lorsque \(x \rightarrow -\infty\). \[x^{n}e^{x} = (-X)^{n}e^{-X} = (-1)^{n} \times \dfrac{X^{n}}{e^{X}}\] D'après l'étape 2, \(\lim\limits_{X \rightarrow +\infty} \dfrac{e^{X}}{X^{n}} = +\infty\) donc, par inverse, \(\lim\limits_{X \rightarrow +\infty} \dfrac{X^{n}}{e^{X}} = 0\).
Par composition et produit, \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x^{n}e^{x} = 0\). \(\square\)
Remarque : Le graphique ci-dessous illustre le résultat : la courbe de \(x \mapsto x^{3}\) passe au-dessus de celle de l'exponentielle pour \(x\) entre \(1{,}9\) et \(4{,}5\) environ, mais l'exponentielle finit par dépasser définitivement toute fonction puissance.
![Courbes de l'exponentielle, de x² et de x³ sur l'intervalle [0 ; 6] : l'exponentielle finit par dépasser les deux fonctions puissances](/static/zmaths/images/cours/tspe-a2-annexe-10.png)
Comparaison de \(e^{x}\), \(x^{2}\) et \(x^{3}\)
Comparaison de \(e^{x}\), \(x^{2}\) et \(x^{3}\)
