1 – Limites usuelles et opérations
Propriété 1 (limites des fonctions de référence) : Soit \(n\) un entier, \(n \geq 1\).
• \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x^{n} = +\infty\) ; \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x^{n} = +\infty\) si \(n\) est pair, \(-\infty\) si \(n\) est impair ; \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x} = +\infty\).
• \(\lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty} \dfrac{1}{x^{n}} = 0\) ; \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \dfrac{1}{x^{n}} = +\infty\) ; \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{-}} \dfrac{1}{x^{n}} = +\infty\) si \(n\) est pair, \(-\infty\) si \(n\) est impair.
• \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} e^{x} = +\infty\) ; \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} e^{x} = 0\).
Les courbes correspondantes sont rassemblées dans l'annexe sur les fonctions usuelles.
• \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x^{n} = +\infty\) ; \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x^{n} = +\infty\) si \(n\) est pair, \(-\infty\) si \(n\) est impair ; \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x} = +\infty\).
• \(\lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty} \dfrac{1}{x^{n}} = 0\) ; \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \dfrac{1}{x^{n}} = +\infty\) ; \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{-}} \dfrac{1}{x^{n}} = +\infty\) si \(n\) est pair, \(-\infty\) si \(n\) est impair.
• \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} e^{x} = +\infty\) ; \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} e^{x} = 0\).
Les courbes correspondantes sont rassemblées dans l'annexe sur les fonctions usuelles.
• Les règles d'opérations sont les mêmes que pour les suites (fiche A1.3). Elles s'appliquent en \(+\infty\), en \(-\infty\) ou en un réel \(a\). Dans les tableaux, \(\ell\) et \(\ell'\) sont des réels et \(f\), \(g\) deux fonctions. Chaque tableau se lit avec la limite de \(f\) en ligne et la limite de \(g\) en colonne.
Somme \(f + g\) :
Produit \(f \times g\) :
Quotient \(\dfrac{f}{g}\) :
F.I. : forme indéterminée (on ne peut pas conclure directement).
\(\pm\infty\) : le signe s'obtient par la règle des signes ; pour un quotient dont le dénominateur tend vers \(0\), il faut connaître le signe du dénominateur (\(0^{+}\) ou \(0^{-}\)).
Somme \(f + g\) :
| \(\lim f\) ↓ / \(\lim g\) → | \(\ell'\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(\ell\) | \(\ell + \ell'\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
| \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) | F.I. |
| \(-\infty\) | \(-\infty\) | F.I. | \(-\infty\) |
Produit \(f \times g\) :
| \(\lim f\) ↓ / \(\lim g\) → | \(\ell' \neq 0\) | \(0\) | \(\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(\ell \neq 0\) | \(\ell \times \ell'\) | \(0\) | \(\pm\infty\) |
| \(0\) | \(0\) | \(0\) | F.I. |
| \(\infty\) | \(\pm\infty\) | F.I. | \(\pm\infty\) |
Quotient \(\dfrac{f}{g}\) :
| \(\lim f\) ↓ / \(\lim g\) → | \(\ell' \neq 0\) | \(0\) | \(\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(\ell \neq 0\) | \(\dfrac{\ell}{\ell'}\) | \(\pm\infty\) | \(0\) |
| \(0\) | \(0\) | F.I. | \(0\) |
| \(\infty\) | \(\pm\infty\) | \(\pm\infty\) | F.I. |
F.I. : forme indéterminée (on ne peut pas conclure directement).
\(\pm\infty\) : le signe s'obtient par la règle des signes ; pour un quotient dont le dénominateur tend vers \(0\), il faut connaître le signe du dénominateur (\(0^{+}\) ou \(0^{-}\)).
Exemple 1 :
Déterminer les limites suivantes :
a) \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} (x^{3} + x)\) b) \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} (x - 2) \times \dfrac{1}{x}\) c) \(\lim\limits_{x \rightarrow 3^{+}} \dfrac{1}{x - 3}\) et \(\lim\limits_{x \rightarrow 3^{-}} \dfrac{1}{x - 3}\)
a) \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x^{3} = -\infty\) et \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x = -\infty\) donc, par somme, \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} (x^{3} + x) = -\infty\).
b) \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} (x - 2) = -2\) et \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \dfrac{1}{x} = +\infty\) donc, par produit, \(\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} (x - 2) \times \dfrac{1}{x} = -\infty\).
c) Si \(x > 3\), alors \(x - 3 > 0\) : \(\lim\limits_{x \rightarrow 3^{+}} (x - 3) = 0^{+}\) donc, par quotient, \(\lim\limits_{x \rightarrow 3^{+}} \dfrac{1}{x - 3} = +\infty\).
De même, \(\lim\limits_{x \rightarrow 3^{-}} (x - 3) = 0^{-}\) donc \(\lim\limits_{x \rightarrow 3^{-}} \dfrac{1}{x - 3} = -\infty\). La droite \(x = 3\) est asymptote verticale à la courbe.
Méthode (lever une forme indéterminée « \(\infty - \infty\) », « \(0 \times \infty\) », « \(\dfrac{\infty}{\infty}\) » ou « \(\dfrac{0}{0}\) ») : on transforme l'expression.
• En \(\pm\infty\) : on factorise par le terme prépondérant (pour un polynôme : le terme de plus haut degré).
• En un réel \(a\) : on factorise puis on simplifie.
• En \(\pm\infty\) : on factorise par le terme prépondérant (pour un polynôme : le terme de plus haut degré).
• En un réel \(a\) : on factorise puis on simplifie.
Exemple 2 :
Déterminer :
a) \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} (2x^{3} + 4x^{2} - 1)\) b) \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{3x^{2} - x + 1}{x^{2} + 5}\) c) \(\lim\limits_{x \rightarrow 2} \dfrac{x^{2} + x - 6}{x - 2}\)
a) F.I. « \(-\infty + \infty\) ». Pour \(x \neq 0\) : \(2x^{3} + 4x^{2} - 1 = x^{3}\left( 2 + \dfrac{4}{x} - \dfrac{1}{x^{3}} \right)\).
Or \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x^{3} = -\infty\) et \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \left( 2 + \dfrac{4}{x} - \dfrac{1}{x^{3}} \right) = 2\) donc, par produit, \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} (2x^{3} + 4x^{2} - 1) = -\infty\).
b) F.I. « \(\dfrac{\infty}{\infty}\) ». Pour \(x \neq 0\) : \[\begin{aligned} \dfrac{3x^{2} - x + 1}{x^{2} + 5} &= \dfrac{x^{2}\left( 3 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}} \right)}{x^{2}\left( 1 + \dfrac{5}{x^{2}} \right)} \\ &= \dfrac{3 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}}{1 + \dfrac{5}{x^{2}}} \end{aligned}\] Le numérateur tend vers \(3\) et le dénominateur vers \(1\) donc, par quotient, la limite est \(3\) (asymptote horizontale d'équation \(y = 3\) en \(+\infty\)).
c) F.I. « \(\dfrac{0}{0}\) ». \(x^{2} + x - 6 = (x - 2)(x + 3)\) donc, pour \(x \neq 2\), \(\dfrac{x^{2} + x - 6}{x - 2} = x + 3\). Ainsi \(\lim\limits_{x \rightarrow 2} \dfrac{x^{2} + x - 6}{x - 2} = 5\).
2 – Limite d'une fonction composée
Propriété 2 : Soient \(a\), \(b\), \(c\) des réels, \(+\infty\) ou \(-\infty\). Si \(\lim\limits_{x \rightarrow a} u(x) = b\) et \(\lim\limits_{X \rightarrow b} f(X) = c\), alors \(\lim\limits_{x \rightarrow a} f(u(x)) = c\).
Exemple 3 :
Déterminer :
a) \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} e^{1 - x}\) b) \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \sqrt{x^{2} + 1}\) c) \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \right)\)
a) \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} (1 - x) = -\infty\) et \(\lim\limits_{X \rightarrow -\infty} e^{X} = 0\) donc, par composition, \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} e^{1 - x} = 0\).
b) \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} (x^{2} + 1) = +\infty\) et \(\lim\limits_{X \rightarrow +\infty} \sqrt{X} = +\infty\) donc, par composition, \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} \sqrt{x^{2} + 1} = +\infty\).
c) F.I. « \(\infty - \infty\) ». Expression conjuguée : \[\begin{aligned} \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} &= \dfrac{(x + 1) - x}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} \end{aligned}\] Le dénominateur tend vers \(+\infty\) (composition et somme) donc la limite est \(0\).
3 – Limites et comparaison
Théorème 1 (comparaison) : Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions telles que \(f(x) \leq g(x)\) pour \(x\) assez grand.
• Si \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty\), alors \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} g(x) = +\infty\).
• Si \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} g(x) = -\infty\), alors \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = -\infty\).
• Si \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty\), alors \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} g(x) = +\infty\).
• Si \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} g(x) = -\infty\), alors \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = -\infty\).
Théorème 2 (des gendarmes) : Si \(f(x) \leq g(x) \leq h(x)\) pour \(x\) assez grand et si \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} h(x) = \ell\) (avec \(\ell\) réel), alors \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} g(x) = \ell\).
Remarque : Ces théorèmes s'adaptent aux limites en \(-\infty\) et en un réel \(a\).
Démonstration (théorème 1, premier point)
Soit \(A\) un réel. Comme \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty\), on a \(f(x) > A\) dès que \(x\) est assez grand ; alors \(g(x) \geq f(x) > A\). Tout intervalle \(]A\ ;\ +\infty[\) contient donc \(g(x)\) pour \(x\) assez grand. \(\square\)Exemple 4 :
Déterminer : a) \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\sin x}{x}\) b) \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} (x + \cos x)\)
a) Pour tout \(x > 0\) : \(-1 \leq \sin x \leq 1\) donc \(-\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{\sin x}{x} \leq \dfrac{1}{x}\). Or \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \left( -\dfrac{1}{x} \right) = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x} = 0\) donc, d'après le théorème des gendarmes, \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0\).
La courbe de \(x \mapsto \dfrac{\sin x}{x}\) est encadrée par celles de \(x \mapsto -\dfrac{1}{x}\) et \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\)
4 – Croissances comparées
Théorème 3 (C.C) : Pour tout entier \(n \geq 1\) : \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{e^{x}}{x^{n}} = +\infty\) et \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x^{n}e^{x} = 0\).
Remarque : On retient que « l'exponentielle l'emporte sur les puissances de \(x\) ». Ce théorème permet de lever des formes indéterminées « \(\dfrac{\infty}{\infty}\) » ou « \(0 \times \infty\) » (démonstration dans l'annexe).
Exemple 5 :
Déterminer : a) \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} (e^{x} - x^{2})\) b) \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} (x^{2} + 1)e^{x}\)
a) F.I. « \(\infty - \infty\) ». Pour \(x \neq 0\) : \(e^{x} - x^{2} = x^{2}\left( \dfrac{e^{x}}{x^{2}} - 1 \right)\). Or \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{e^{x}}{x^{2}} = +\infty\) (C.C). Par produit, \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} (e^{x} - x^{2}) = +\infty\).
b) \((x^{2} + 1)e^{x} = x^{2}e^{x} + e^{x}\). Or \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} x^{2}e^{x} = 0\) (C.C) et \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} e^{x} = 0\). Donc, par somme, la limite est \(0\).
