1 – Limite infinie en un point
Définition 1 (limite infinie) : Soit \(a\) un réel et \(f\) une fonction définie autour de \(a\) (mais pas forcément en \(a\)). On dit que \(f\) a pour limite \(+\infty\) en \(a\) si tout intervalle \(]A\ ;\ +\infty[\) contient toutes les valeurs \(f(x)\) dès que \(x\) est assez proche de \(a\). On note \(\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = +\infty\).
Remarques :
• Autrement dit, pour tout \(A > 0\), il existe un réel \(\epsilon > 0\) tel que, pour tout \(x\) tel que \(\left| x - a \right| < \epsilon\), \(f(x) > A\).
• Aussi grand qu'on le prenne, le seuil \(A\) peut toujours être dépassé, pour \(x\) suffisamment proche de \(a\).
• On définit de manière analogue \(\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = -\infty\), en remplaçant l'intervalle par \(]-\infty\ ;\ A[\).
• Souvent, \(f\) ne se comporte pas de la même façon des deux côtés de \(a\). On précise alors :
– si \(x\) s'approche de \(a\) par valeurs inférieures (\(x < a\)) : limite à gauche, notée \(\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a \\ x < a}} f(x)\) ou \(\lim\limits_{x \rightarrow a^{-}} f(x)\) ;
– si \(x\) s'approche de \(a\) par valeurs supérieures (\(x > a\)) : limite à droite, notée \(\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a \\ x > a}} f(x)\) ou \(\lim\limits_{x \rightarrow a^{+}} f(x)\).
• Autrement dit, pour tout \(A > 0\), il existe un réel \(\epsilon > 0\) tel que, pour tout \(x\) tel que \(\left| x - a \right| < \epsilon\), \(f(x) > A\).
• Aussi grand qu'on le prenne, le seuil \(A\) peut toujours être dépassé, pour \(x\) suffisamment proche de \(a\).
• On définit de manière analogue \(\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = -\infty\), en remplaçant l'intervalle par \(]-\infty\ ;\ A[\).
• Souvent, \(f\) ne se comporte pas de la même façon des deux côtés de \(a\). On précise alors :
– si \(x\) s'approche de \(a\) par valeurs inférieures (\(x < a\)) : limite à gauche, notée \(\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a \\ x < a}} f(x)\) ou \(\lim\limits_{x \rightarrow a^{-}} f(x)\) ;
– si \(x\) s'approche de \(a\) par valeurs supérieures (\(x > a\)) : limite à droite, notée \(\lim\limits_{\substack{x \rightarrow a \\ x > a}} f(x)\) ou \(\lim\limits_{x \rightarrow a^{+}} f(x)\).
Définition 2 : Si la limite de \(f\) en \(a\) (ou seulement à gauche, ou à droite de \(a\)) est \(+\infty\) ou \(-\infty\), la droite d'équation \(x = a\) est appelée asymptote verticale à la courbe de \(f\).
Exemple 1 :
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{-3\}\) par \(f(x) = \dfrac{2x + 7}{x + 3} = 2 + \dfrac{1}{x + 3}\).
Courbe \(C_{f}\) et droite d'équation \(x = -3\)
\(\lim\limits_{x \rightarrow -3^{-}} f(x) = -\infty\) et \(\lim\limits_{x \rightarrow -3^{+}} f(x) = +\infty\) : la droite d'équation \(x = -3\) est asymptote verticale à \(C_{f}\).
2) Compléter le tableau de valeurs à l'aide de la calculatrice :
| \(x\) | \(-3{,}1\) | \(-3{,}01\) | \(-3{,}001\) | \(-2{,}999\) | \(-2{,}99\) | \(-2{,}9\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(-8\) | \(-98\) | \(-998\) | \(1\,002\) | \(102\) | \(12\) |
3) Pour quels réels \(x > -3\) a-t-on \(f(x) > 1\,000\) ?
Pour \(x > -3\) : \[\begin{aligned} 2 + \dfrac{1}{x + 3} > 1\,000 &\iff \dfrac{1}{x + 3} > 998 \\ &\iff 0 < x + 3 < \dfrac{1}{998} \\ &\iff -3 < x < -3 + \dfrac{1}{998} \end{aligned}\] Donc \(f(x) > 1\,000\) dès que \(x\) est assez proche de \(-3\) à droite : \(-3 < x < -3 + \dfrac{1}{998}\).
2 – Limite finie en un point
Définition 3 (limite finie) : Soit \(\ell\) un réel. On dit que \(f\) a pour limite \(\ell\) en \(a\) si tout intervalle ouvert contenant \(\ell\) contient toutes les valeurs \(f(x)\) dès que \(x\) est assez proche de \(a\). On note \(\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = \ell\).
Remarques :
• Pour les fonctions usuelles, lorsque \(f\) est définie en \(a\), on a simplement \(\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)\) ; par exemple \(\lim\limits_{x \rightarrow 3} x^{2} = 9\). C'est la notion de continuité (voir le chapitre A3 sur la continuité).
• Si les limites à gauche et à droite en \(a\) sont différentes, la fonction n'a pas de limite en \(a\).
• Une fonction peut avoir une limite finie en un réel où elle n'est pas définie (exemple 2).
• Pour les fonctions usuelles, lorsque \(f\) est définie en \(a\), on a simplement \(\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)\) ; par exemple \(\lim\limits_{x \rightarrow 3} x^{2} = 9\). C'est la notion de continuité (voir le chapitre A3 sur la continuité).
• Si les limites à gauche et à droite en \(a\) sont différentes, la fonction n'a pas de limite en \(a\).
• Une fonction peut avoir une limite finie en un réel où elle n'est pas définie (exemple 2).
Exemple 2 :
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\) par \(g(x) = \dfrac{x^{2} - 1}{x - 1}\). Déterminer \(\lim\limits_{x \rightarrow 1} g(x)\).
Pour tout \(x \neq 1\) : \(g(x) = \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1\). Quand \(x\) se rapproche de \(1\), \(x + 1\) se rapproche de \(2\) : \(\lim\limits_{x \rightarrow 1} g(x) = 2\).
La courbe de \(g\) est la droite d'équation \(y = x + 1\) privée du point de coordonnées \((1\ ;\ 2)\).
La courbe de \(g\) n'aura pas d'asymptote.
