1 – Limite infinie en l'infini
Définition 1 (limite infinie) : On dit qu'une fonction \(f\) a pour limite \(+\infty\) en \(+\infty\), si tout intervalle \(]A\ ;\ +\infty[\) contient toutes les valeurs \(f(x)\) dès que \(x\) est assez grand. On note alors \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty\).
Remarques :
• Autrement dit, pour tout réel \(A > 0\), il existe un réel \(m\) tel que, pour tout \(x > m\), \(f(x) > A\).
• Le seuil \(A\), aussi grand qu'on le choisisse, peut toujours être dépassé, en prenant \(x\) suffisamment grand.
• On définit de manière analogue \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = -\infty\), en remplaçant l'intervalle par \(]-\infty\ ;\ A[\).
• On définit de même les limites en \(-\infty\) (« dès que \(x\) est négatif et assez grand en valeur absolue »).
• Autrement dit, pour tout réel \(A > 0\), il existe un réel \(m\) tel que, pour tout \(x > m\), \(f(x) > A\).
• Le seuil \(A\), aussi grand qu'on le choisisse, peut toujours être dépassé, en prenant \(x\) suffisamment grand.
• On définit de manière analogue \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = -\infty\), en remplaçant l'intervalle par \(]-\infty\ ;\ A[\).
• On définit de même les limites en \(-\infty\) (« dès que \(x\) est négatif et assez grand en valeur absolue »).
Exemple 1 :
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^{3} - 3x + 1\).
Courbe de la fonction \(f\)
| \(x\) | \(-10^{3}\) | \(-10^{2}\) | \(-10\) | \(10\) | \(10^{2}\) | \(10^{3}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(\approx -10^{9}\) | \(-999\,699\) | \(-969\) | \(971\) | \(999\,701\) | \(\approx 10^{9}\) |
2) Conjecturer graphiquement les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty\) et \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty\).
3) À la calculatrice, trouver un réel \(m\) tel que, pour tout \(x > m\), \(f(x) > 10\,000\).
\(f(21) = 9\,199\) et \(f(22) = 10\,583\). Comme \(f\) est croissante sur \([1\ ;\ +\infty[\), pour tout \(x > 22\) on a \(f(x) > 10\,000\) : \(m = 22\) convient.
4) On donne la fonction Python ci-dessous (algorithme de seuil).
def seuil(A):
x = 1
while x**3 - 3*x + 1 <= A:
x = x + 1
return xseuil(100000) ?
La fonction renvoie \(47\).
b. Interpréter.
L'algorithme renvoie le premier entier \(x\) tel que \(f(x) > 100\,000\). À partir de \(x = 47\), le seuil \(100\,000\) est dépassé : pour \(A = 100\,000\), il existe \(m = 47\) tel que, pour tout \(x > m\), on a \(f(x) > 100\,000\).
2 – Limite finie en l'infini
Définition 2 (limite finie) : Soit \(\ell\) un réel. On dit que \(f\) a pour limite \(\ell\) en \(+\infty\) si tout intervalle ouvert contenant \(\ell\) contient toutes les valeurs \(f(x)\) dès que \(x\) est assez grand. On note \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \ell\).
La droite d'équation \(y = \ell\) est alors appelée asymptote horizontale à la courbe de \(f\) en \(+\infty\).
La droite d'équation \(y = \ell\) est alors appelée asymptote horizontale à la courbe de \(f\) en \(+\infty\).
Remarques :
• Autrement dit, pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un réel \(m\) tel que, pour tout \(x > m\), \(\left| f(x) - \ell \right| < \epsilon\).
• La distance entre \(f(x)\) et la limite \(\ell\) peut être aussi petite que l'on veut, pour \(x\) pris suffisamment grand.
• On définit de même la limite \(\ell\) en \(-\infty\) et l'asymptote horizontale en \(-\infty\).
• Graphiquement, la courbe de \(f\) se rapproche autant que l'on veut de la droite d'équation \(y = \ell\).
• Autrement dit, pour tout \(\epsilon > 0\), il existe un réel \(m\) tel que, pour tout \(x > m\), \(\left| f(x) - \ell \right| < \epsilon\).
• La distance entre \(f(x)\) et la limite \(\ell\) peut être aussi petite que l'on veut, pour \(x\) pris suffisamment grand.
• On définit de même la limite \(\ell\) en \(-\infty\) et l'asymptote horizontale en \(-\infty\).
• Graphiquement, la courbe de \(f\) se rapproche autant que l'on veut de la droite d'équation \(y = \ell\).
Exemple 2 :
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{-3\}\) par \(f(x) = \dfrac{2x + 7}{x + 3}\).
Courbe \(C_{f}\) et droite d'équation \(y = 2\)
| \(x\) | \(-10^{3}\) | \(-10^{2}\) | \(-10\) | \(10\) | \(10^{2}\) | \(10^{3}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(1{,}9990\) | \(1{,}9897\) | \(1{,}8571\) | \(2{,}0769\) | \(2{,}0097\) | \(2{,}0010\) |
2) Conjecturer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et \(-\infty\). Interpréter graphiquement.
\(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = 2\) et \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 2\) : la droite d'équation \(y = 2\) est asymptote horizontale à \(C_{f}\) en \(+\infty\) et \(-\infty\).
3) Vérifier que \(f(x) - 2 = \dfrac{1}{x + 3}\). \[\begin{aligned} f(x) - 2 &= \dfrac{2x + 7}{x + 3} - 2 \\ &= \dfrac{2x + 7 - 2(x + 3)}{x + 3} \\ &= \dfrac{2x + 7 - 2x - 6}{x + 3} \\ &= \dfrac{1}{x + 3} \end{aligned}\] 4) Trouver un réel \(m\) tel que, pour tout \(x > m\), \(f(x) \in\ ]1{,}99\ ;\ 2{,}01[\). \[\begin{aligned} 1{,}99 < f(x) < 2{,}01 &\iff -0{,}01 < f(x) - 2 < 0{,}01 \\ &\iff -0{,}01 < \dfrac{1}{x + 3} < 0{,}01 \end{aligned}\] Pour \(x > -3\), on a \(x + 3 > 0\), donc : \[0 < \dfrac{1}{x + 3} < 0{,}01 \iff x + 3 > \dfrac{1}{0{,}01} = 100 \iff x > 97\] Donc \(m = 97\) convient.
5) Étudier la position de \(C_{f}\) par rapport à son asymptote horizontale.
\(f(x) - 2 = \dfrac{1}{x + 3}\) est du signe de \(x + 3\) : strictement positif pour \(x > -3\) et strictement négatif pour \(x < -3\).
\(C_{f}\) est au-dessus de la droite d'équation \(y = 2\) sur \(]-3\ ;\ +\infty[\) et en dessous sur \(]-\infty\ ;\ -3[\).
On peut alors préciser \(\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = 2^{+}\) (\(f(x) > 2\)) et \(\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 2^{-}\) (\(f(x) < 2\)).
Remarque : Une fonction n'a pas toujours une limite : c'est le cas de \(\cos\) et \(\sin\), qui oscillent indéfiniment entre \(-1\) et \(1\).
