1 – Continuité en un point, sur un intervalle
• Intuitivement, une fonction continue est une fonction dont la courbe se trace « sans lever le crayon », qui ne présente aucun « saut ». Pour formaliser cette idée, on utilise la notion de limite.
Définition 1 : Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a\) un réel de \(I\).
• \(f\) est continue en \(a\) si \(\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)\).
• \(f\) est continue sur \(I\) si elle est continue en tout réel \(a\) de \(I\).
• \(f\) est continue en \(a\) si \(\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)\).
• \(f\) est continue sur \(I\) si elle est continue en tout réel \(a\) de \(I\).
Remarque : Cela signifie que les limites à gauche et à droite de \(f\) en \(a\) sont toutes deux égales à \(f(a)\).
Exemple 1 :
Les fonctions \(f\), \(g\) et \(h\) représentées ci-dessous sont-elles continues en \(1\) ?
\(\lim\limits_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow 1^{+}} f(x) = -1\) et \(f(1) = -1\) : \(f\) est continue en \(1\).
\(\lim\limits_{x \rightarrow 1^{-}} g(x) = 0{,}8\) mais \(\lim\limits_{x \rightarrow 1^{+}} g(x) = 3\) : \(g\) n'est pas continue en \(1\) (« saut »).
\(h\) n'est pas définie en \(1\) : elle ne peut pas être continue en \(1\).
Exemple 2 (fonction partie entière) :
La fonction \(E\) associe à tout réel \(x\) sa partie entière. Exemple : \(E(2{,}7) = 2\) et \(E(-0{,}5) = -1\). Est-elle continue en \(1\) ?
Courbe de la fonction partie entière
Plus généralement, \(E\) est continue sur chaque intervalle \(]n\ ;\ n + 1[\) (\(n\) entier), où elle est constante.
2 – Continuité des fonctions usuelles
Propriété 1 (admise) : Sur tout intervalle où elles sont définies :
• Les fonctions de références (polynômes, exponentielles, racines, trigonométriques...) sont continues.
• Les sommes, produits, quotients et composées de fonctions continues sont des fonctions continues.
• Les fonctions de références (polynômes, exponentielles, racines, trigonométriques...) sont continues.
• Les sommes, produits, quotients et composées de fonctions continues sont des fonctions continues.
Propriété 2 : Toute fonction dérivable sur un intervalle \(I\) est continue sur \(I\).
Démonstration
Soit \(a \in I\). Pour tout \(x \neq a\) de \(I\) : \[f(x) = f(a) + (x - a) \times \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}\] Comme \(f\) est dérivable en \(a\), \(\lim\limits_{x \rightarrow a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)\) ; de plus \(\lim\limits_{x \rightarrow a} (x - a) = 0\).Aussi, \(\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = f(a) + 0 \times f'(a) = f(a)\) : \(f\) est continue en \(a\). \(\square\)
Remarque : La réciproque de la propriété 2 est fausse : la fonction valeur absolue est continue sur \(\mathbb{R}\), mais elle n'est pas dérivable en \(0\).
Convention : dans un tableau de variations, une flèche indique que la fonction est continue et strictement monotone sur l'intervalle correspondant.
