Activité 1 : Avec Geogebra

Créer deux curseurs \(a\) et \(b\), de type « nombre », variant entre \(-5\) et \(5\), avec un pas de \(0{,}1\).
Saisir \(f(x) = ax + b\).
Faire varier les curseurs.

Quelle est la forme de la représentation graphique de \(f\) ?
Que se passe-t-il quand \(a = 0\) ?
Que se passe-t-il quand \(b = 0\) ?
Quels types de droites sont impossibles à obtenir ?

Quelles sont les coordonnées du point A, intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées ? Placer ce point sur Geogebra.
Placer le point \(B\left(-\dfrac{b}{a}\,;\,0\right)\). Que remarque-t-on ?

4. Étudier les deux fonctions suivantes :

\(f(x) = 3x - 6\)
Compléter le tableau de valeurs :

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(f(x)\)

Déterminer le sens de variation de \(f\).
Dresser le tableau de signe de \(f(x)\).

\(g(x) = -4x + 4\)
Compléter le tableau de valeurs :

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(g(x)\)

Déterminer le sens de variation de \(g\).
Dresser le tableau de signe de \(g(x)\).

Correction — Activité 1

1.
a.

Cliquer sur l'icône pour créer un curseur.
b. Icône saisie

Utiliser la fenêtre de saisie pour entrer la formule.
c. Icône déplacer

Sélectionner l'icône pour faire varier les curseurs.

2.
a. Une droite.
b. La droite est horizontale, la fonction est constante égale à \(b\).
c. La droite passe par l'origine du repère, la fonction est linéaire.
d. Les droites verticales, qui ne définissent pas une fonction.

3.
a. Icône point

Le point \(A(0\,; b)\). Utiliser l'icône pour le placer.
b. Dans la fenêtre de saisie entrer \(B = (-b/a, 0)\).
Il s'agit du point d'intersection de la droite avec l'axe des abscisses.

4. Étude de deux cas particuliers :

\(f(x) = 3x - 6\)
a. \(a = 3\) et \(b = -6\).

b. Tableau de valeurs :

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(f(x)\)	\(-12\)	\(-9\)	\(-6\)	\(-3\)	\(0\)	\(3\)	\(6\)

On avance de \(3\) en \(3\).

c. \(f\) est croissante.

d. Tableau de signe :

\(x\)	\(-\infty\) \(2\) \(+\infty\)
\(f(x)\)	\(-\) \(0\) \(+\)

\(g(x) = -4x + 4\)
a. \(a = -4\) et \(b = 4\).

b. Tableau de valeurs :

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(g(x)\)	\(12\)	\(8\)	\(4\)	\(0\)	\(-4\)	\(-8\)	\(-12\)

On avance de \(-4\) en \(-4\).

c. \(g\) est décroissante.

d. Tableau de signe :

\(x\)	\(-\infty\) \(1\) \(+\infty\)
\(g(x)\)	\(+\) \(0\) \(-\)

Activité 2 : La fonction Recette

Une entreprise vend des imprimantes à \(80\) € l'unité. On note \(R(x)\) la recette obtenue pour \(x\) imprimantes vendues.

1. Compléter le tableau de valeurs suivant :

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(10\)	\(100\)	\(200\)	\(500\)
\(R(x)\)

2. Que remarque-t-on ?
3.

Exprimer \(R(x)\) en fonction de \(x\).
Quel est le type de cette fonction ?

4. Tracer la courbe représentative de \(R\) dans le repère ci-contre.

Correction — Activité 2

1. Tableau de valeurs :

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(10\)	\(100\)	\(200\)	\(500\)
\(R(x)\)	\(0\)	\(80\)	\(160\)	\(240\)	\(800\)	\(8\,000\)	\(16\,000\)	\(40\,000\)

2. C'est un tableau de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité est \(\times 80\).

3.
a. \(R(x) = 80x\).
b. Il s'agit d'une fonction linéaire.

4. On place les points \((0\,; 0)\) et \((10\,; 800)\) puis on les relie.

Activité 3 : Scène de crime

Un meurtre a été commis dans un hangar. Un suspect de \(1{,}65\) m a été arrêté. Les indices balistiques sont représentés ci-dessous.

1. Reporter les indications sur la figure.
2.

Justifier que la trajectoire de la balle peut être modélisée par une fonction affine \(f(x) = ax + b\).
Calculer le coefficient directeur \(a\).
Déterminer l'ordonnée à l'origine \(b\).

Déterminer la hauteur du point P (position du tireur).
Que peut-on conclure sur le suspect ?

4. Déterminer la distance de chute de la balle après la traversée du mur.

Correction — Activité 3

1. Voir ci-dessus.

2.
a. Sur une courte distance, la trajectoire de la balle peut être assimilée à une droite (elle est en réalité légèrement parabolique).

b. La trajectoire passe par les points \(I(0\,; 0{,}7)\) et \(V(3\,; 1{,}1)\).
\(a = \dfrac{y_V - y_I}{x_V - x_I} = \dfrac{1{,}1 - 0{,}7}{3 - 0} = \dfrac{0{,}4}{3} = \dfrac{2}{15} \approx 0{,}13\)

c. \(b = 0{,}70\) (c'est l'ordonnée à l'origine).
On a donc \(f(x) = \dfrac{2}{15}x + 0{,}7\).

3.
a. Le coup a été tiré à une distance de \(7{,}5 - 0{,}6 = 6{,}9\,m\) du mur.
\(f(6{,}9) = \dfrac{2}{15} \times 6{,}9 + 0{,}7 = 1{,}62\)
Le coup a donc été tiré à une hauteur de \(1{,}62\,m\).

b. Comme le suspect mesure \(1{,}65\,m\), il est trop petit pour avoir tiré la balle (sa tête ne ferait que \(3\,cm\) !).

4. On résout \(f(x) = 0\) :
\(x = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{0{,}7}{\dfrac{2}{15}} = -0{,}7 \times \dfrac{15}{2} = -5{,}25\)
La balle touchera le sol à \(5{,}25\,m\) du mur.

Activité 4 : Fonction affine par morceaux

On considère la fonction \(f\) définie sur \([-2\,;\,8]\) par : \[f(x) = \begin{cases} 2x - 1 & \text{si } -2 \leq x < 2 \\ 3 & \text{si } 2 \leq x < 4 \\ -x + 7 & \text{si } 4 \leq x \leq 8 \end{cases}\]
1. Calculer les images de \(0\), \(3{,}5\) et \(5\).
2. Écrire un algorithme permettant de calculer \(f(x)\) pour tout \(x\) de \([-2\,;\,8]\).
3. Tracer la courbe représentative de \(f\) dans le repère ci-contre.
4. Dresser le tableau de variation de \(f\).

Repère pour la fonction affine par morceaux

Correction — Activité 4

\[f(x) = \begin{cases} 2x - 1 & \text{si } -2 \leq x < 2 \\ 3 & \text{si } 2 \leq x < 4 \\ -x + 7 & \text{si } 4 \leq x \leq 8 \end{cases}\] 1. \(f(0) = 2 \times 0 - 1 = -1\) ; \(f(3{,}5) = 3\) et \(f(5) = -5 + 7 = 2\).

2. Algorithme :
Saisir \(x\)
Si \(x \geqslant -2\) ET \(x < 2\) Alors
\(y \leftarrow 2x - 1\)
Si \(x \geqslant 2\) ET \(x < 4\) Alors
\(y \leftarrow 3\)
Si \(x \geqslant 4\) ET \(x \leqslant 8\) Alors
\(y \leftarrow -x + 7\)
Afficher \(y\)

3. et 4. Voir ci-dessous.

Correction activité 4 — tableau de variation

Activité n°1 — Fonctions affines