1 – Généralités
Définition 1 :
Une fonction \(f\) est dite affine si elle peut s'écrire sous la forme : \[f(x) = ax + b\] où \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels.
Une fonction \(f\) est dite affine si elle peut s'écrire sous la forme : \[f(x) = ax + b\] où \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels.
Cas particuliers :
- Si \(b = 0\), la fonction \(f(x) = ax\) est une fonction linéaire.
- Si \(a = 0\), la fonction \(f(x) = b\) est une fonction constante.
Théorème 1 :
La courbe représentative d'une fonction affine \(f(x) = ax + b\) est une droite d'équation \(y = ax + b\).
La courbe représentative d'une fonction affine \(f(x) = ax + b\) est une droite d'équation \(y = ax + b\).
Interprétation graphique :
- \(a\) est le coefficient directeur (pente) de la droite.
- \(b\) est l'ordonnée à l'origine : c'est l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.
- L'antécédent de \(0\) est \(-\dfrac{b}{a}\) (si \(a \neq 0\)) : c'est l'abscisse du point d'intersection de la droite avec l'axe des abscisses.
Remarque : La réciproque est fausse : toute droite du plan n'est pas la courbe représentative d'une fonction affine. Les droites verticales (d'équation \(x = k\)) ne sont pas des courbes de fonctions.
Exemple 1 :
\(f(x) = 2x + 1\)
Fonction affine
\(a = 2\), \(b = 1\)
Fonction affine
\(a = 2\), \(b = 1\)
\(g(x) = -3x\)
Fonction linéaire
\(a = -3\), \(b = 0\)
Fonction linéaire
\(a = -3\), \(b = 0\)
\(h(x) = 3\)
Fonction constante
\(a = 0\), \(b = 3\)
Fonction constante
\(a = 0\), \(b = 3\)
Contre-Exemple : La fonction \(f(x) = x^2 + 1\) n'est pas une fonction affine car elle ne peut pas s'écrire sous la forme \(ax + b\).
Exemple 2 :
Les fonctions suivantes sont-elles affines ?
- \(f(x) = \dfrac{x+3}{2}\)
\(f(x) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{3}{2} = 0{,}5x + 1{,}5\)
Oui, \(f\) est affine avec \(a = 0{,}5\) et \(b = 1{,}5\). - \(g(x) = x^2 - (x+2)^2\)
\(g(x) = (x+2-x)(x+2+x) = 2(2x+2) = 4x + 4\)
Oui, \(g\) est affine avec \(a = 4\) et \(b = 4\). - \(h(x) = \dfrac{1}{x} + 5\)
Non, \(h\) ne peut pas s'écrire sous la forme \(ax + b\).
2 – Sens de variation et signe d'une fonction affine
Propriété 1 :
Soit \(f(x) = ax + b\) une fonction affine.
Soit \(f(x) = ax + b\) une fonction affine.
- Si \(a > 0\), alors \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).
- Si \(a < 0\), alors \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).
Exemple :
- \(f(x) = 2x + 1\) : \(a = 2 > 0\), donc \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).
- \(g(x) = -3x\) : \(a = -3 < 0\), donc \(g\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\).
Propriété 2 :
Soit \(f(x) = ax + b\) une fonction affine avec \(a \neq 0\).
\(f\) s'annule en \(x = -\dfrac{b}{a}\).
Le signe de \(f(x)\) dépend du signe de \(a\) :
Soit \(f(x) = ax + b\) une fonction affine avec \(a \neq 0\).
\(f\) s'annule en \(x = -\dfrac{b}{a}\).
Le signe de \(f(x)\) dépend du signe de \(a\) :
- Si \(a > 0\) :
- Si \(a < 0\) :
Démonstration :
On résout \(f(x) = 0\) : \(ax + b = 0\), soit \(x = -\dfrac{b}{a}\).
Le signe de \(f(x)\) se déduit ensuite du sens de variation de \(f\) :
On résout \(f(x) = 0\) : \(ax + b = 0\), soit \(x = -\dfrac{b}{a}\).
Le signe de \(f(x)\) se déduit ensuite du sens de variation de \(f\) :
- Si \(a > 0\), \(f\) est croissante, donc \(f(x) < 0\) pour \(x < -\dfrac{b}{a}\) et \(f(x) > 0\) pour \(x > -\dfrac{b}{a}\).
- Si \(a < 0\), \(f\) est décroissante, donc \(f(x) > 0\) pour \(x < -\dfrac{b}{a}\) et \(f(x) < 0\) pour \(x > -\dfrac{b}{a}\).
Exemple 3 :
\(f(x) = 4x + 2\)
\(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2}{4} = -0{,}5\)
\(a = 4 > 0\), donc \(f\) est croissante.
Tableau de signe :
\(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2}{4} = -0{,}5\)
\(a = 4 > 0\), donc \(f\) est croissante.
Tableau de signe :
\(g(x) = -\dfrac{1}{3}x + 4\)
\(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{4}{-\frac{1}{3}} = 12\)
\(a = -\dfrac{1}{3} < 0\), donc \(g\) est décroissante.
Tableau de signe :
\(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{4}{-\frac{1}{3}} = 12\)
\(a = -\dfrac{1}{3} < 0\), donc \(g\) est décroissante.
Tableau de signe :
3 – Linéarité
Propriété 3 :
Soit \(f(x) = ax + b\) une fonction affine. Pour tout réel \(u\) et \(v\) avec \(u \neq v\) : \[\frac{f(v) - f(u)}{v - u} = a\]
Soit \(f(x) = ax + b\) une fonction affine. Pour tout réel \(u\) et \(v\) avec \(u \neq v\) : \[\frac{f(v) - f(u)}{v - u} = a\]
Exemple 4 :
On donne \(f(2) = 5\), \(f(5) = 9\) et \(f(10) = 15\). La fonction \(f\) peut-elle être affine ?On calcule les rapports :
\(\dfrac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \dfrac{9 - 5}{3} = \dfrac{4}{3}\)
\(\dfrac{f(10) - f(5)}{10 - 5} = \dfrac{15 - 9}{5} = \dfrac{6}{5}\)
Les rapports ne sont pas égaux : \(\dfrac{4}{3} \neq \dfrac{6}{5}\).
Donc \(f\) n'est pas une fonction affine.
Exemple 5 :
Déterminer la fonction affine \(f\) telle que \(f(1) = -2\) et \(f(5) = 6\).On cherche \(a\) et \(b\) tels que \(f(x) = ax + b\).
On calcule \(a\) :
\(a = \dfrac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = \dfrac{6 - (-2)}{4} = \dfrac{8}{4} = 2\)
On calcule \(b\) en utilisant \(f(1) = -2\) :
\(a \times 1 + b = -2\), soit \(2 + b = -2\), donc \(b = -4\).
Conclusion : \(f(x) = 2x - 4\).
