Exercices n°1 — Fonctions affines

Généralités

Exercice 1 : Fonctions affines
Démontrer que les fonctions suivantes sont des fonctions affines. On précisera les coefficients \(a\) et \(b\).
  1. \(f(x) = \dfrac{2x+6}{3}\)
  2. \(f(x) = \dfrac{x+5}{2} - x\)
  3. \(f(x) = 2(3-x) - (4x-5)\)
  4. \(f(x) = (x+1)^2 - x^2\)
  5. \(f(x) = (2x+3)^2 - 4x^2\)
  6. \(f(x) = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{x+4}{2} + x\)
Correction — Exercice 1
  1. \(f(x) = \dfrac{2x + 6}{3} = \dfrac{2}{3}x + 2\).
    On a \(f(x) = ax + b\) avec \(a = \dfrac{2}{3}\) et \(b = 2\).
  2. \(f(x) = \dfrac{x + 5}{2} - x = \dfrac{1}{2}x + 2{,}5 - x = -0{,}5x + 2{,}5\).
    On a \(a = -0{,}5\) et \(b = 2{,}5\).
  3. \(f(x) = 2(3 - x) - (4x - 5) = 6 - 2x - 4x + 5 = -6x + 11\).
    On a \(a = -6\) et \(b = 11\).
  4. \(f(x) = (x + 1)^2 - x^2 = x^2 + 2x + 1 - x^2 = 2x + 1\).
    On a \(a = 2\) et \(b = 1\).
  5. \(f(x) = (2x + 3)^2 - 4x^2 = 4x^2 + 12x + 9 - 4x^2 = 12x + 9\).
    On a \(a = 12\) et \(b = 9\).
  6. \(f(x) = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{x + 4}{2} + x = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}x + 2 + x = 2x + 2\).
    On a \(a = 2\) et \(b = 2\).
Exercice 2 : Quatre droites
On considère les quatre droites représentées ci-dessous.
Quatre droites dans un repère
Déterminer les expressions algébriques de chaque fonction. Préciser lesquelles sont linéaires ou constantes.
Correction — Exercice 2 On doit trouver graphiquement le coefficient directeur \(a\) et l'ordonnée à l'origine \(b\) :

\((d_1)\) : \(f(x) = -\dfrac{1}{2}x + 1\) ; affine
\((d_2)\) : \(f(x) = 2x - 2\) ; affine
\((d_3)\) : \(f(x) = -2x\) ; linéaire
\((d_4)\) : \(f(x) = 2\) ; constante
Exercice 3 : Trois tableaux de valeurs
On donne les trois tableaux de valeurs suivants :
Tableau de valeurs a Tableau de valeurs b Tableau de valeurs c
Retrouver les expressions de chacune de ces fonctions affines.
Correction — Exercice 3 \(f(x) = 4x - 3\) : on va de \(4\) en \(4\) et \(f(0) = -3\).
\(g(x) = -2x\) : on va de \(-2\) en \(-2\) et \(g(0) = 0\).
\(h(x) = 5\) : fonction constante égale à \(5\).
Exercice 4 : Étude d'une fonction affine
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{1}{3}x - 2\).
  1. Justifier que \(f\) est une fonction affine.
    1. Déterminer l'image de \(3\) par \(f\).
    2. Déterminer le(s) antécédent(s) de \(3\) par \(f\).
  3. Tracer la courbe représentative de \(f\).
    1. Déterminer le sens de variation de \(f\).
    2. Pour quelle valeur de \(x\) la fonction \(f\) s'annule-t-elle ?
    3. Dresser le tableau de signe de \(f(x)\).
  5. Reprendre les questions précédentes avec \(g(x) = -2x-3\).
Correction — Exercice 4 \(f(x) = \dfrac{1}{3}x - 2\)

1. \(f(x) = ax + b\) avec \(a = \dfrac{1}{3}\) et \(b = -2\).

2.
a. \(f(3) = \dfrac{1}{3} \times 3 - 2 = 1 - 2 = -1\).

b. On cherche \(x\) tel que \(f(x) = 3\) :
\(\dfrac{1}{3}x - 2 = 3\)
\(\Longleftrightarrow \dfrac{1}{3}x = 5\)
\(\Longleftrightarrow x = 15\)
L'antécédent de \(3\) par \(f\) est \(15\).

3. On utilise deux points : \((0\,; -2)\) et \((3\,; -1)\) puis on les relie à la règle.
Courbe de f(x) = x/3 - 2
4.
a. \(f\) est croissante car \(a = \dfrac{1}{3} > 0\).

b. \(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-2}{\dfrac{1}{3}} = 2 \times 3 = 6\). La fonction s'annule en \(6\).

c. Tableau de signe :
\(x\) \(-\infty\)   \(6\)   \(+\infty\)
\(f(x)\) \(-\)   \(0\)   \(+\)
\(g(x) = -2x - 3\)

1. \(g(x) = ax + b\) avec \(a = -2\) et \(b = -3\).

2.
a. \(g(3) = -2 \times 3 - 3 = -9\).

b. On cherche \(x\) tel que \(g(x) = 3\) :
\(-2x - 3 = 3 \Longleftrightarrow -2x = 6 \Longleftrightarrow x = -3\)
L'antécédent de \(3\) par \(g\) est \(-3\).

3. On utilise deux points : \((0\,; -3)\) et \((3\,; -9)\).
Courbe de g(x) = -2x - 3
4.
a. \(g\) est décroissante car \(a = -2 < 0\).

b. \(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-3}{-2} = -1{,}5\). La fonction s'annule en \(-1{,}5\).

c. Tableau de signe :
\(x\) \(-\infty\)   \(-1{,}5\)   \(+\infty\)
\(g(x)\) \(+\)   \(0\)   \(-\)
Exercice 5 : Tableau de signe
Dresser le tableau de signe des fonctions suivantes :
  1. \(f(x)=3x+2\)
  2. \(f(x)=-3x+7\)
  3. \(f(x)=\dfrac{1}{2}x-4\)
  4. \(f(x)=-x+2\)
  5. \(f(x)=\dfrac{3}{2}+x\)
  6. \(f(x)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{4}x\)
Correction — Exercice 5 a. \(f(x) = 3x + 2\) s'annule en \(-\dfrac{2}{3}\) :
\(x\) \(-\infty\)   \(-\dfrac{2}{3}\)   \(+\infty\)
\(f(x)\) \(-\)   \(0\)   \(+\)
b. \(f(x) = -3x + 7\) s'annule en \(\dfrac{7}{3}\) :
\(x\) \(-\infty\)   \(\dfrac{7}{3}\)   \(+\infty\)
\(f(x)\) \(+\)   \(0\)   \(-\)
c. \(f(x) = \dfrac{1}{2}x - 4\) s'annule en \(8\) :
\(x\) \(-\infty\)   \(8\)   \(+\infty\)
\(f(x)\) \(-\)   \(0\)   \(+\)
car \(-\dfrac{-4}{\dfrac{1}{2}} = 4 \times 2 = 8\).

d. \(f(x) = -x + 2\) (\(a = -1\), \(b = 2\)) s'annule en \(2\) :
\(x\) \(-\infty\)   \(2\)   \(+\infty\)
\(f(x)\) \(+\)   \(0\)   \(-\)
e. \(f(x) = \dfrac{3}{2} + x\) (\(a = 1\), \(b = \dfrac{3}{2}\)) s'annule en \(-\dfrac{3}{2}\) :
\(x\) \(-\infty\)   \(-\dfrac{3}{2}\)   \(+\infty\)
\(f(x)\) \(-\)   \(0\)   \(+\)
f. \(f(x) = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4}x\) (\(a = -\dfrac{3}{4}\), \(b = \dfrac{1}{2}\)) s'annule en \(\dfrac{2}{3}\) :
\(x\) \(-\infty\)   \(\dfrac{2}{3}\)   \(+\infty\)
\(f(x)\) \(+\)   \(0\)   \(-\)
car \(\dfrac{-\dfrac{1}{2}}{-\dfrac{3}{4}} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{2}{3}\).
Exercice 6 : Tracer une droite
Proposer une fonction affine correspondant à chacun des tableaux de signe ci-dessous.
Tableau de signe a
Tableau de signe b
Correction — Exercice 6 1er tableau : \(-\dfrac{b}{a} = 4\) et \(a\) doit être positif.
Par exemple \(a = 1\) et \(b = -4\) : \(f(x) = x - 4\).

2ème tableau : \(-\dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{3}\) et \(a\) doit être négatif.
Par exemple \(a = -3\) et \(b = 1\) : \(f(x) = -3x + 1\).
Exercice 7 : Trouver une fonction affine
Déterminer la fonction affine \(f\) dans chacun des cas suivants :
  1. \(f(0)=3\) et \(f(1)=0\)
  2. \(f(-4)=-1\) et \(f(8)=2\)
  3. \(f(1)=3\) et \(f(4)=9\)
  4. \(f(1000)=2010\) et \(f(100)=210\)
Correction — Exercice 7 a. \(f(0) = 3\) et \(f(1) = 0\).
\(a = \dfrac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = \dfrac{0 - 3}{1} = -3\)
\(b = f(0) = 3\)
Donc \(f(x) = -3x + 3\).

b. \(f(-4) = -1\) et \(f(8) = 2\).
\(a = \dfrac{f(8) - f(-4)}{8 - (-4)} = \dfrac{2 - (-1)}{12} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}\)
On sait que \(f(x) = \dfrac{1}{4}x + b\) et \(f(-4) = -1\) :
\(\dfrac{1}{4} \times (-4) + b = -1\)
\(-1 + b = -1\) donc \(b = 0\).
Ainsi \(f(x) = \dfrac{1}{4}x\).

c. \(f(1) = 3\) et \(f(4) = 9\).
\(a = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2\)
\(f(x) = 2x + b\) et \(f(1) = 3\) :
\(2 \times 1 + b = 3\) donc \(b = 1\).
Ainsi \(f(x) = 2x + 1\).

d. \(f(1000) = 2010\) et \(f(100) = 210\).
\(a = \dfrac{2010 - 210}{1000 - 100} = \dfrac{1800}{900} = 2\)
\(f(x) = 2x + b\) et \(f(100) = 210\) :
\(2 \times 100 + b = 210\) donc \(b = 10\).
Ainsi \(f(x) = 2x + 10\).
Exercice 8 : Affine ?
Déterminer si les fonctions suivantes sont affines :
  1. \(f(0)=5\), \(f(3)=6\) et \(f(6)=7\)
  2. \(f(1{,}2)=2{,}4\), \(f(-2)=-4\) et \(f(3)=6\)
  3. \(f(8)=13\), \(f(13)=21\) et \(f(21)=34\)
  4. La fonction \(f\) dont le tableau de valeurs est :
    Tableau de valeurs d
Correction — Exercice 8 a. \(f(0) = 5\), \(f(3) = 6\) et \(f(6) = 7\).
\(\dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \dfrac{1}{3}\) et \(\dfrac{f(6) - f(3)}{6 - 3} = \dfrac{1}{3}\).
\(f\) peut donc être une fonction affine.

b. \(f(1{,}2) = 2{,}4\), \(f(-2) = -4\) et \(f(3) = 6\).
\(\dfrac{f(1{,}2) - f(-2)}{1{,}2 - (-2)} = \dfrac{2{,}4 - (-4)}{3{,}2} = \dfrac{6{,}4}{3{,}2} = 2\)
\(\dfrac{f(3) - f(-2)}{3 - (-2)} = \dfrac{6 - (-4)}{5} = \dfrac{10}{5} = 2\)
\(f\) peut donc être une fonction affine.

c. \(f(8) = 13\), \(f(13) = 21\) et \(f(21) = 34\).
\(\dfrac{f(13) - f(8)}{13 - 8} = \dfrac{8}{5} = 1{,}6\)
\(\dfrac{f(21) - f(13)}{21 - 13} = \dfrac{13}{8} = 1{,}625 \neq 1{,}6\)
\(f\) ne peut donc pas être affine.

d. Correction tableau de valeurs d
\(\dfrac{-1{,}7 - 3{,}1}{0 - (-2)} = -\dfrac{4{,}8}{2} = -2{,}4\)
\(\dfrac{-5{,}2 - (-3{,}1)}{5 - 0} = \dfrac{-2{,}1}{5} = -0{,}42\)
\(f\) ne peut donc pas être affine.
Exercice 9 : Calculatrice
On obtient l'affichage suivant sur une calculatrice :
Écran de calculatrice
  1. La fonction affichée est-elle une fonction affine ?
  2. Quel nombre faut-il entrer pour obtenir \(-57\) ?
Correction — Exercice 9 1. \(\dfrac{-7 - (-1)}{5 - 2} = -\dfrac{6}{3} = -2\) et \(\dfrac{-13 - (-7)}{8 - 5} = -\dfrac{6}{3} = -2\).
Oui, cette fonction peut être affine. On a \(a = -2\).
Écran calculatrice correction
Donc \(f(x) = -2x + b\).
En utilisant \(x = 2\) : \(-2 \times 2 + b = -1\), soit \(-4 + b = -1\), d'où \(b = 3\).
Ainsi \(f(x) = -2x + 3\).

2. \(f(x) = -57\)
\(-2x + 3 = -57\)
\(-2x = -60\)
\(x = \dfrac{-60}{-2} = 30\)
Exercice 10 : Fonctions affines par morceaux
On considère les fonctions représentées ci-dessous.
Fonction affine par morceaux a
Fonction affine par morceaux b
Déterminer les expressions de chaque fonction sur chaque intervalle.
Correction — Exercice 10 Courbe 1 : \[f(x) = \begin{cases} -2x - 2 & \text{si } x \leqslant 1 \\ \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2} & \text{si } x > 1 \end{cases}\] Courbe 2 : \[f(x) = \begin{cases} 2 & \text{si } x \leqslant -1 \\ -x - 1 & \text{si } -1 < x \leqslant 2 \\ -2 & \text{si } x > 2 \end{cases}\]

Problèmes

Exercice 11 : Boulangerie
Un boulanger fabrique quotidiennement \(100\) croissants. Le coût de production est de 33 € et chaque croissant est vendu 1,10 €. On note \(x\) le nombre de croissants vendus.
  1. Exprimer la recette \(R(x)\) et le bénéfice \(B(x)\) en fonction de \(x\).
  2. Dresser le tableau de signe de \(B(x)\).
  3. À partir de combien de croissants vendus la production est-elle rentable ?
Correction — Exercice 11 1. \(R(x) = 1{,}1x\) et \(B(x) = 1{,}1x - 33\).

2. \(a = 1{,}1\) et \(b = -33\). La fonction s'annule en \(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-33}{1{,}1} = 30\) et \(a > 0\).
\(x\) \(-\infty\)   \(30\)   \(+\infty\)
\(B(x)\) \(-\)   \(0\)   \(+\)
3. Il faut que \(B(x) \geqslant 0\) : au moins \(30\) croissants.
Exercice 12 : Randonnée pédestre
On représente ci-dessous la distance parcourue par un randonneur en fonction du temps.
Graphique de la randonnée pédestre
Le graphique est constitué de \(5\) segments.
  1. Déterminer la vitesse du randonneur sur les portions \(A \to B\) et \(C \to D\).
  2. Ranger les vitesses sur chaque portion dans l'ordre croissant.
Correction — Exercice 12 1.
\(v_{AB} = \dfrac{0{,}5}{4} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125\,km/min\), c'est-à-dire \(0{,}125 \times 60 = 8{,}25\,km/h\).

\(v_{CD} = \dfrac{2 - 1{,}5}{10 - 7} = \dfrac{0{,}5}{3} = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167\,km/min\), c'est-à-dire \(0{,}167 \times 60 = 10\,km/h\).

2. La vitesse sur un tronçon correspond au coefficient directeur du segment. On a donc : \[v_{AB} = v_{DE} < v_{CD} = v_{EF} < v_{BC}\] \((8{,}25\,km/h < 10\,km/h < 20\,km/h)\)
Exercice 13 : Concessionnaire
Un concessionnaire automobile propose deux contrats de maintenance :
  • Contrat A : un forfait de 1 100 € et 175 € par voiture entretenue.
  • Contrat B : un forfait de 1 450 € et 125 € par voiture entretenue.
Déterminer quel contrat est le plus avantageux selon le nombre de voitures entretenues.
Correction — Exercice 13 Soit \(x\) le nombre de voitures.
\(A(x) = 1\,100 + 175x\) et \(B(x) = 1\,425 + 125x\).

Méthode 1 : Menu TABLE
On entre les deux fonctions dans la calculatrice : Calculatrice — saisie fonctions
On règle les paramètres du tableau : Calculatrice — paramètres
On cherche quand les valeurs de la 1ère colonne deviennent plus grandes : Calculatrice — tableau
À partir de \(x = 7\) voitures, le contrat A est plus intéressant.

Méthode 2 : Menu GRAPH Calculatrice — graphique
On utilise G-SOLV / ISCT pour le point d'intersection : Calculatrice — intersection
Le point d'intersection est en \(x = 6{,}5\). Il faut donc vendre \(7\) voitures pour que le contrat A soit plus avantageux.

Méthode 3 : Par le calcul
On résout \(A(x) > B(x)\) :
\(1\,100 + 175x > 1\,425 + 125x\)
\(175x - 125x > 1\,425 - 1\,100\)
\(50x > 325\)
\(x > \dfrac{325}{50} = 6{,}5\)
À partir de \(7\) voitures, le contrat A est plus avantageux.
Exercice 14 : Radar
Lorsqu'un radar enregistre une vitesse \(v\) (en \(km/h\)), la vitesse retenue \(f(v)\) tient compte d'une marge d'erreur technique :
  • Si \(v \leqslant 100\) : \(f(v) = v - 5\)
  • Si \(v > 100\) : \(f(v) = v \times 0{,}95\) (soit une marge de \(5\,\%\))
Écrire un algorithme permettant de calculer la vitesse retenue à partir de la vitesse enregistrée.
Correction — Exercice 14 1. \(f(v) = v - 5\) si \(v \leqslant 100\) et \(f(v) = 0{,}95v\) si \(v > 100\).

2. Variables : \(VE\) (vitesse enregistrée), \(VR\) (vitesse retenue), \(V_{MAX}\) (vitesse maximale autorisée).

Saisir \(V_{MAX}\)
Saisir \(VE\)
Si \(VE < 100\) Alors
 \(VR \leftarrow VE - 5\)
Sinon
 \(VR \leftarrow 0{,}95 \times VE\)
Afficher \(VR\)
Si \(VR > V_{MAX}\) Alors
 Afficher « Excès de vitesse »
Exercice 15 : Diesel / Essence
On donne le graphique ci-dessous représentant les coûts annuels d'utilisation d'un véhicule diesel et d'un véhicule essence en fonction du nombre de kilomètres parcourus.
Graphique comparaison diesel et essence
  1. Déterminer les expressions \(e(x)\) et \(d(x)\) donnant le coût annuel en fonction du nombre de kilomètres \(x\).
  2. Déterminer les expressions \(f(x)\) et \(g(x)\) donnant le coût total (achat + utilisation) en fonction du nombre de kilomètres \(x\).
  3. À partir de combien de kilomètres le véhicule diesel devient-il rentable ?
Correction — Exercice 15
Correction diesel/essence
On calcule le coût au kilomètre pour chaque modèle :

Modèle Essence :
\(\dfrac{5{,}3}{100} = 0{,}053\) L/km et \(0{,}053 \times 1{,}585 \approx 0{,}084\) €/km.

Modèle Diesel :
\(\dfrac{3{,}5}{100} = 0{,}035\) L/km et \(0{,}035 \times 1{,}310 \approx 0{,}046\) €/km.

1. \(e(x) = 0{,}084x\) et \(d(x) = 0{,}046x\).

2. \(f(x) = 20300 + 0{,}084x\) et \(g(x) = 23250 + 0{,}046x\).

3. On résout \(g(x) < f(x)\) :
\(23250 + 0{,}046x < 20300 + 0{,}084x\)
\(0{,}046x - 0{,}084x < 20300 - 23250\)
\(-0{,}038x < -2950\)
\(x > \dfrac{2950}{0{,}038} \approx 77632\)

À partir de 77 632 km, le véhicule diesel est plus avantageux.
Exercice 16 : Parking
Dans un parking, le tarif est le suivant : 0,50 € pour les \(30\) premières minutes, puis 0,01 € par minute supplémentaire.
  1. Quel est le prix à payer pour \(20\) minutes de stationnement ?
  2. Quel est le prix à payer pour \(45\) minutes de stationnement ?
  3. Exprimer le prix \(P(t)\) en fonction du temps \(t\) (en minutes).
  4. Tracer la courbe représentative de \(P\).
  5. Combien de temps peut-on stationner avec 2 € ?
Correction — Exercice 16 1. Après 20 min : \(0{,}50\) €.

2. Après 1 h : \(0{,}50 + 30 \times 0{,}01 = 0{,}80\) €.

3. \[P(t) = \begin{cases} 0{,}50 & \text{si } t \leqslant 30 \\ 0{,}50 + 0{,}01(t - 30) & \text{si } t > 30 \end{cases}\] Soit, en simplifiant : \[P(t) = \begin{cases} 0{,}50 & \text{si } t \leqslant 30 \\ 0{,}01t + 0{,}20 & \text{si } t > 30 \end{cases}\] 4. À partir de 30 min, lorsque l'on rajoute 10 min on paye \(0{,}10\) € de plus.
Courbe du prix du parking
5. On résout \(P(t) = 1{,}60\) :
\(0{,}01t + 0{,}20 = 1{,}6\)
\(0{,}01t = 1{,}4\)
\(t = \dfrac{1{,}4}{0{,}01} = 140\)
Il est resté 140 min.
Exercice 17 : Température
Un liquide a une température de \(2{,}4\,°C\) à \(12\,h\) et de \(1{,}6\,°C\) à \(12\,h\,40\). On suppose que la température est une fonction affine du temps.
À quelle heure la température atteindra-t-elle \(0\,°C\) ?
Correction — Exercice 17 Soit \(t\) le temps écoulé à partir de \(12\,h\) (en min) et \(f(t)\) la température (en °C).
La diminution étant constante, \(f\) est une fonction affine : \(f(t) = at + b\).

\(a = \dfrac{1{,}6 - 2{,}4}{40 - 0} = \dfrac{-0{,}8}{40} = -0{,}02\)

\(b = f(0) = 2{,}4\) (température à \(12\,h\)).

Donc \(f(t) = -0{,}02t + 2{,}4\).

La température atteint \(0\,°C\) lorsque la fonction s'annule :
\(-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2{,}4}{-0{,}02} = 120\)

Au bout de \(120\,min = 2\,h\), soit à \(14\,h\), la température sera de \(0\,°C\).
Exercice 18 : Cinéma
Un cinéma propose deux tarifs :
  • Tarif normal : 5,50 € la séance.
  • Tarif abonné : une carte d'abonnement à 5 € puis chaque séance à 4,20 €.
À partir de combien de séances le tarif abonné devient-il avantageux ?

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