Pour les exercices de 1 à 9 on pourra s'aider de la courbe ci-dessous.
\(10^5 \quad;\quad \sqrt{3} \quad;\quad 5\sqrt{5}\)
\((-2\sqrt{7})^2 \quad;\quad (\sqrt{3}+1)^2\)
\(= 2 + 2\sqrt{16} + 8 = 10 + 2 \times 4 = 18\)
b. \((\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \times \sqrt{5} \times \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2\)
\(= 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15}\)
c. \((2\sqrt{2} + 3\sqrt{3})^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2 \times 2\sqrt{2} \times 3\sqrt{3} + (3\sqrt{3})^2\)
\(= 4 \times 2 + 12\sqrt{6} + 9 \times 3 = 35 + 12\sqrt{6}\)
d. \(\left(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 = \dfrac{(1 + \sqrt{5})^2}{4} = \dfrac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} = \dfrac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}\)
\(\frac{16}{9} \quad;\quad 0{,}25 \quad;\quad 10^8 \quad;\quad 4 \times 10^{10}\)
\(\sqrt{6} \approx 2{,}45\)
a. Si \(x \geqslant 2\sqrt{2}\) alors \(x^2 \geqslant (2\sqrt{2})^2 = 8\).
b. Si \(x \leqslant -0{,}5\) alors \(x^2 \geqslant (-0{,}5)^2 = 0{,}25\).
c. Si \(x < -\dfrac{5}{4}\) alors \(x^2 > \left(-\dfrac{5}{4}\right)^2 = \dfrac{25}{16}\).
2.
a. Si \(1 \leqslant x \leqslant 3\) alors \(1 \leqslant x^2 \leqslant 9\).
b. Si \(-2 \leqslant x \leqslant -1\) alors \(1 \leqslant x^2 \leqslant 4\).
c. Si \(-3 \leqslant x \leqslant 2\) alors \(4 \leqslant x^2 \leqslant 9\).
\((8\sqrt{2})^2 = 64 \times 2 = 128\)
Donc \(8\sqrt{2} > 11\) car la fonction carré est croissante sur \([0\,; +\infty[\).
2. \((2\sqrt{13})^2 = 4 \times 13 = 52\)
\((3\sqrt{7})^2 = 9 \times 7 = 63\)
Donc \(3\sqrt{7} > 2\sqrt{13}\) car la fonction carré est croissante sur \([0\,; +\infty[\).
Comparer un nombre et son carré. Discuter selon les valeurs de \(x\).
2. Sur \([0\,; 1]\), on a \(x \geqslant x^2\).
Sur \(]-\infty\,; 0[\,\cup\,]1\,; +\infty[\), on a \(x^2 > x\).
Le côté \(2\,m\) se situe à gauche du minimum de la parabole, donc la valeur est négative : \(-\sqrt{2}\).
Exercice 1 : Image 1
Calculer l'image par la fonction carré des nombres suivants :
\(0 \quad;\quad -1 \quad;\quad 12 \quad;\quad \frac{1}{3}\)\(10^5 \quad;\quad \sqrt{3} \quad;\quad 5\sqrt{5}\)
Correction — Exercice 1
- \(f(0) = 0^2 = 0\)
- \(f(-1) = (-1)^2 = 1\)
- \(f(12) = 12^2 = 144\)
- \(f\left(\dfrac{1}{3}\right) = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}\)
- \(f(10^5) = (10^5)^2 = 10^{10}\)
- \(f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^2 = 3\)
- \(f(5\sqrt{5}) = (5\sqrt{5})^2 = 5^2 \times (\sqrt{5})^2 = 25 \times 5 = 125\)
Exercice 2 : Image 2
Calculer l'image par la fonction carré des nombres suivants et donner le résultat en écriture scientifique :
\[10^3 \quad;\quad -10^7 \quad;\quad 3 \times 10^4 \quad;\quad -2 \times 10^{-3}\]
Correction — Exercice 2
- \(f(2 \times 10^5) = (2 \times 10^5)^2 = 4 \times 10^{10}\)
- \(f(-1{,}2 \times 10^4) = (-1{,}2 \times 10^4)^2 = 1{,}44 \times 10^8\)
- \(f(2{,}5 \times 10^{-3}) = (2{,}5 \times 10^{-3})^2 = 6{,}25 \times 10^{-6}\)
- \(f(9 \times 10^{10}) = (9 \times 10^{10})^2 = 81 \times 10^{20} = 8{,}1 \times 10^{21}\)
Exercice 3 : Image 3
Calculer les valeurs exactes suivantes :
\((\sqrt{5})^2 \quad;\quad (3\sqrt{2})^2\)\((-2\sqrt{7})^2 \quad;\quad (\sqrt{3}+1)^2\)
Correction — Exercice 3
a. \((\sqrt{2} + \sqrt{8})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2 \times \sqrt{2} \times \sqrt{8} + (\sqrt{8})^2\)\(= 2 + 2\sqrt{16} + 8 = 10 + 2 \times 4 = 18\)
b. \((\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \times \sqrt{5} \times \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2\)
\(= 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15}\)
c. \((2\sqrt{2} + 3\sqrt{3})^2 = (2\sqrt{2})^2 + 2 \times 2\sqrt{2} \times 3\sqrt{3} + (3\sqrt{3})^2\)
\(= 4 \times 2 + 12\sqrt{6} + 9 \times 3 = 35 + 12\sqrt{6}\)
d. \(\left(\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 = \dfrac{(1 + \sqrt{5})^2}{4} = \dfrac{1 + 2\sqrt{5} + 5}{4} = \dfrac{6 + 2\sqrt{5}}{4} = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}\)
Exercice 4 : Antécédents
Déterminer le(s) antécédent(s) par la fonction carré de chacun des nombres suivants :
\(81 \quad;\quad -5 \quad;\quad 10\,000 \quad;\quad 0 \quad;\quad \frac{1}{36}\)\(\frac{16}{9} \quad;\quad 0{,}25 \quad;\quad 10^8 \quad;\quad 4 \times 10^{10}\)
Correction — Exercice 4
- \(81 > 0\), donc 2 antécédents : \(\sqrt{81} = 9\) et \(-\sqrt{81} = -9\).
- \(-5 < 0\) : pas d'antécédents.
- \(10\,000 > 0\), donc 2 antécédents : \(\sqrt{10\,000} = 100\) et \(-100\).
- \(0\) est l'unique antécédent de \(0\).
- \(\dfrac{1}{36} > 0\), donc 2 antécédents : \(\sqrt{\dfrac{1}{36}} = \dfrac{1}{6}\) et \(-\dfrac{1}{6}\).
- \(\dfrac{16}{9} > 0\), donc 2 antécédents : \(\sqrt{\dfrac{16}{9}} = \dfrac{4}{3}\) et \(-\dfrac{4}{3}\).
- \(0{,}25 > 0\), donc 2 antécédents : \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\) et \(-0{,}5\).
- \(10^8 > 0\), donc 2 antécédents : \(\sqrt{10^8} = 10^4\) et \(-10^4\).
- \(4 \times 10^{10} > 0\), donc 2 antécédents : \(\sqrt{4 \times 10^{10}} = 2 \times 10^5\) et \(-2 \times 10^5\).
Exercice 5 : Lecture graphique
En utilisant la courbe de la fonction carré, donner une approximation de \(\sqrt{6}\).
Correction — Exercice 5
Exercice 6 : Équations
Résoudre les équations suivantes :
- \(x^2=9\)
- \(x^2=100\)
- \(x^2=20\)
- \(x^2=50\)
- \(x^2=-25\)
- \(x^2=0\)
Correction — Exercice 6
- \(x^2 = 9\) : \(S = \{-3\,; 3\}\)
- \(x^2 = 100\) : \(S = \{-10\,; 10\}\)
- \(x^2 = 20\) : \(S = \{-2\sqrt{5}\,; 2\sqrt{5}\}\)
car \(x = \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}\) - \(x^2 = 50\) : \(S = \{-5\sqrt{2}\,; 5\sqrt{2}\}\)
car \(x = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}\) - \(x^2 = -25\) : \(S = \varnothing\)
- \(x^2 = 0\) : \(S = \{0\}\)
Exercice 7 : Inéquations
Résoudre les inéquations suivantes :
- \(x^2 \leqslant 4\)
- \(x^2 > 1\)
- \(x^2 < 5\)
- \(x^2 \geqslant 3\)
- \(x^2 \geqslant 0\)
- \(x^2 < -1\)
Correction — Exercice 7
- \(x^2 \leqslant 4\) : \(S = [-2\,; 2]\)
- \(x^2 > 1\) : \(S = ]-\infty\,; -1[\,\cup\,]1\,; +\infty[\)
- \(x^2 < 5\) : \(S = ]-\sqrt{5}\,; \sqrt{5}[\)
- \(x^2 \geqslant 3\) : \(S = ]-\infty\,; -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}\,; +\infty[\)
- \(x^2 \geqslant 0\) : \(S = \mathbb{R}\)
- \(x^2 < -1\) : \(S = \varnothing\)
Exercice 8 : Comparaison
Sans calculatrice, comparer les nombres suivants :
- \(3{,}1^2\) et \(3{,}2^2\)
- \((-5{,}3)^2\) et \((-5{,}4)^2\)
- \((-2{,}7)^2\) et \(2{,}6^2\)
- \(\left(\frac{3}{7}\right)^2\) et \(\left(\frac{4}{9}\right)^2\)
- \((-\sqrt{5})^2\) et \((\sqrt{6})^2\)
Correction — Exercice 8
- \(5{,}124^2 < 5{,}4^2\) car \(5{,}124 < 5{,}4\) et la fonction carré est croissante sur \([0\,; +\infty[\).
- \((-0{,}5)^2 > (-0{,}47)^2\) car \(-0{,}5 < -0{,}47\) et la fonction carré est décroissante sur \(]-\infty\,; 0]\).
- \((-\pi)^2 > (-3{,}14)^2\) car \(-\pi < -3{,}14\) et la fonction carré est décroissante sur \(]-\infty\,; 0]\).
- \(\left(\dfrac{24}{7}\right)^2 > \left(\dfrac{10}{3}\right)^2\) car \(\dfrac{24}{7} = \dfrac{72}{21} > \dfrac{10}{3} = \dfrac{70}{21}\) et la fonction carré est croissante sur \([0\,; +\infty[\).
- \((\sqrt{3} - 1)^2 < (\sqrt{3} + 1)^2\) car \(\sqrt{3} - 1 < \sqrt{3} + 1\) et la fonction carré est croissante sur \([0\,; +\infty[\).
Exercice 9 : Inégalités à compléter
Compléter les inégalités suivantes par \( < \) ou \( > \) :
-
- Si \(x > 3\) alors \(x^2 \ldots 9\)
- Si \(x < -5\) alors \(x^2 \ldots 25\)
- Si \(-4 < x < 0\) alors \(x^2 \ldots 16\)
-
- Si \(x^2 > 4\) et \(x > 0\) alors \(x \ldots 2\)
- Si \(x^2 < 9\) et \(x < 0\) alors \(x \ldots -3\)
- Si \(x^2 \leqslant 1\) alors \(\ldots \leqslant x \leqslant \ldots\)
Correction — Exercice 9
1.a. Si \(x \geqslant 2\sqrt{2}\) alors \(x^2 \geqslant (2\sqrt{2})^2 = 8\).
b. Si \(x \leqslant -0{,}5\) alors \(x^2 \geqslant (-0{,}5)^2 = 0{,}25\).
c. Si \(x < -\dfrac{5}{4}\) alors \(x^2 > \left(-\dfrac{5}{4}\right)^2 = \dfrac{25}{16}\).
2.
a. Si \(1 \leqslant x \leqslant 3\) alors \(1 \leqslant x^2 \leqslant 9\).
b. Si \(-2 \leqslant x \leqslant -1\) alors \(1 \leqslant x^2 \leqslant 4\).
c. Si \(-3 \leqslant x \leqslant 2\) alors \(4 \leqslant x^2 \leqslant 9\).
Exercice 10 : Comparer mentalement
Sans calculatrice, comparer les nombres suivants :
- \(3\sqrt{5}\) et \(5\sqrt{3}\)
- \(2\sqrt{10}\) et \(3\sqrt{5}\)
Correction — Exercice 10
1. \(11^2 = 121\)\((8\sqrt{2})^2 = 64 \times 2 = 128\)
Donc \(8\sqrt{2} > 11\) car la fonction carré est croissante sur \([0\,; +\infty[\).
2. \((2\sqrt{13})^2 = 4 \times 13 = 52\)
\((3\sqrt{7})^2 = 9 \times 7 = 63\)
Donc \(3\sqrt{7} > 2\sqrt{13}\) car la fonction carré est croissante sur \([0\,; +\infty[\).
Exercice 11 : Comparaison nombre / carré
Correction — Exercice 11
1. On a \(1^2 = 1\) et \(0^2 = 0\), donc il existe deux nombres égaux à leur carré.2. Sur \([0\,; 1]\), on a \(x \geqslant x^2\).
Sur \(]-\infty\,; 0[\,\cup\,]1\,; +\infty[\), on a \(x^2 > x\).
Exercice 12 : Tremplin
Un tremplin de ski a la forme d'une parabole. La largeur du tremplin est \(l\) mètres.
On modélise le profil du tremplin par la fonction carré : la courbe passe par les points \(A\left(-\dfrac{l}{2}\,;\,\dfrac{l^2}{4}\right)\) et \(B\left(\dfrac{l}{2}\,;\,\dfrac{l^2}{4}\right)\).
On modélise le profil du tremplin par la fonction carré : la courbe passe par les points \(A\left(-\dfrac{l}{2}\,;\,\dfrac{l^2}{4}\right)\) et \(B\left(\dfrac{l}{2}\,;\,\dfrac{l^2}{4}\right)\).
- Exprimer la hauteur du tremplin en fonction de \(l\).
- Calculer la hauteur du tremplin pour \(l = 10\,m\).
Correction — Exercice 12
\(l = \sqrt{0{,}5} - (-\sqrt{2}) = \sqrt{0{,}5} + \sqrt{2} \approx 2{,}12\,m\)Le côté \(2\,m\) se situe à gauche du minimum de la parabole, donc la valeur est négative : \(-\sqrt{2}\).
