Exercices n°3 — Fonction cube

Pour les exercices de 1 à 5 on pourra s'aider de la courbe ci-dessous.
Courbe de la fonction cube
Exercice 1 : Image
Calculer l'image par la fonction cube des nombres suivants : \(0 \quad;\quad -1 \quad;\quad -\frac{2}{5} \quad;\quad 10^2\)
\(4 \times 10^3 \quad;\quad -0{,}02 \quad;\quad \sqrt{5} \quad;\quad -3\sqrt{3}\)
Correction — Exercice 1
  • \(0^3 = 0\)
  • \((-1)^3 = (-1) \times (-1) \times (-1) = -1\)
  • \(\left(-\dfrac{2}{5}\right)^3 = \dfrac{(-2)^3}{5^3} = -\dfrac{8}{125}\)
  • \((10^2)^3 = 10^{2 \times 3} = 10^6\)
  • \((4 \times 10^3)^3 = 4^3 \times 10^{3 \times 3} = 64 \times 10^9\)
    \(= 6{,}4 \times 10^{10}\)
  • \((-0{,}02)^3 = (-2 \times 10^{-2})^3\)
    \(= (-2)^3 \times 10^{-2 \times 3}\)
    \(= -8 \times 10^{-6} = -0{,}000\,008\)
  • \((\sqrt{5})^3 = (\sqrt{5})^2 \times \sqrt{5} = 5\sqrt{5}\)
  • \((-3\sqrt{3})^3 = (-3)^3 \times (\sqrt{3})^3\)
    \(= -27 \times 3\sqrt{3} = -81\sqrt{3}\)
Exercice 2 : Antécédents
Déterminer le(s) antécédent(s) par la fonction cube de chacun des nombres suivants : \(27 \quad;\quad 125\,000\,000 \quad;\quad 10^9 \quad;\quad -0{,}001\)
\(\frac{1}{8} \quad;\quad -\frac{1}{64} \quad;\quad 2\sqrt{2}\)
Correction — Exercice 2
  • \(27 = 3^3\). L'antécédent est \(3\).
  • \(125\,000\,000 = 500^3\). L'antécédent est \(500\).
  • \(10^9 = 10^{3 \times 3} = (10^3)^3\). L'antécédent est \(1\,000\).
  • \(-0{,}001 = (-0{,}1)^3\). L'antécédent est \(-0{,}1\).
  • \(\dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2^3} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3\). L'antécédent est \(\dfrac{1}{2}\).
  • \(-\dfrac{1}{64} = -\dfrac{1}{4^3} = \left(-\dfrac{1}{4}\right)^3\). L'antécédent est \(-\dfrac{1}{4}\).
  • \(2\sqrt{2} = \sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} = (\sqrt{2})^3\). L'antécédent est \(\sqrt{2}\).
Remarque : on peut aussi utiliser la racine cubique \(\sqrt[3]{\phantom{x}}\) pour trouver les antécédents.
Exercice 3 : Équations et inéquations graphiques
Résoudre graphiquement les équations et inéquations suivantes :
  1. \(x^3=-8\)
  2. \(x^3 \geqslant 1\)
  3. \(x^3 < 0\)
  4. \(x^3 \geqslant -0{,}125\)
Correction — Exercice 3
  1. \(x^3 = -8 \Longleftrightarrow x = -2\) : \(S = \{-2\}\)
  2. \(x^3 \geqslant 1 \Longleftrightarrow x \geqslant 1\) : \(S = [1\,; +\infty[\)
  3. \(x^3 < 0 \Longleftrightarrow x < 0\) : \(S = ]-\infty\,; 0[\)
  4. \(x^3 \geqslant -0{,}125 \Longleftrightarrow x \geqslant -0{,}5\) : \(S = [-0{,}5\,; +\infty[\)
Exercice 4 : Encadrement
Compléter les propositions suivantes :
  1. Si \(2 \leqslant x \leqslant 3\) alors \(\ldots \leqslant x^3 \leqslant \ldots\)
  2. Si \(-1 \leqslant x \leqslant 4\) alors \(\ldots \leqslant x^3 \leqslant \ldots\)
  3. Si \(x^3 \leqslant 27\) alors \(x \leqslant \ldots\)
  4. Si \(x^3 > -8\) alors \(x > \ldots\)
Correction — Exercice 4
  1. Si \(0{,}5 \leqslant x \leqslant 1\) alors \(0{,}125 \leqslant x^3 \leqslant 1\)
    car \(0{,}5^3 \leqslant x^3 \leqslant 1^3\).
  2. Si \(x \leqslant 0{,}3\) alors \(x^3 \in\,]-\infty\,; 0{,}027]\)
    car \(x^3 \leqslant 0{,}3^3 = 0{,}027\).
  3. Si \(x \geqslant -0{,}5\) alors \(x^3 \in [-0{,}125\,; +\infty[\)
    car \(x^3 \geqslant (-0{,}5)^3 = -0{,}125\).
  4. Si \(x \in [1{,}5\,; 3]\) alors \(x^3 \in [3{,}375\,; 27]\)
    car \(1{,}5^3 \leqslant x^3 \leqslant 3^3 \Longleftrightarrow 3{,}375 \leqslant x^3 \leqslant 27\).
Exercice 5 : Comparaison
Sans calculatrice, comparer les nombres suivants :
  1. \(1{,}2^3\) et \(1{,}3^3\)
  2. \((-0{,}5)^3\) et \((-0{,}4)^3\)
  3. \((-3)^3\) et \(2^3\)
Correction — Exercice 5
  1. \(0{,}01^3 > 0{,}007^3\) car \(0{,}01 > 0{,}007\) et la fonction cube est croissante sur \(\mathbb{R}\).
  2. \((-1{,}12)^3 > (-1{,}21)^3\) car \(-1{,}12 > -1{,}21\) et la fonction cube est croissante sur \(\mathbb{R}\).
  3. \((1 - \sqrt{2})^3 > (1 - \sqrt{3})^3\) car \(\sqrt{2} < \sqrt{3}\) donc \(1 - \sqrt{2} > 1 - \sqrt{3}\) et la fonction cube est croissante sur \(\mathbb{R}\).
Exercice 6 : Navette spatiale
Lors du décollage d'une navette spatiale, la distance \(F(t)\) (en \(km\)) parcourue en fonction du temps \(t\) (en secondes) est modélisée par :
\[F(t) = 0{,}00001\,t^3\]
  1. Quelle distance la navette a-t-elle parcourue au bout de \(100\) secondes ?
  2. Au bout de combien de temps la navette a-t-elle traversé l'atmosphère (épaisseur estimée à \(100\,km\)) ?
Schéma de l'atmosphère
Correction — Exercice 6 1. \(F(t) \geqslant 15\)
\(\Longleftrightarrow 0{,}00001\,t^3 \geqslant 15\)
\(\Longleftrightarrow t^3 \geqslant \dfrac{15}{0{,}00001}\)
\(\Longleftrightarrow t^3 \geqslant 1\,500\,000\)
\(\Longleftrightarrow t \geqslant \sqrt[3]{1\,500\,000} = 114\,s\)

Au bout de \(1\,min\,54\,s\).

2. \(F(t) \leqslant 50\)
\(\Longleftrightarrow 0{,}00001\,t^3 \leqslant 50\)
\(\Longleftrightarrow t^3 \leqslant \dfrac{50}{0{,}00001}\)
\(\Longleftrightarrow t^3 \leqslant 5\,000\,000\)
\(\Longleftrightarrow t \leqslant \sqrt[3]{5\,000\,000} = 171\,s\)

Donc \(171 - 114 = 57\,s\).
Exercice 7 : Position relative
Comparer les nombres suivants :
  1. \(0{,}6\), \(0{,}6^2\) et \(0{,}6^3\)
  2. \(1\), \(1^2\) et \(1^3\)
  3. \(1{,}5\), \(1{,}5^2\) et \(1{,}5^3\)
  4. \(-0{,}8\), \((-0{,}8)^2\) et \((-0{,}8)^3\)
Correction — Exercice 7
  1. \(0{,}6 > 0{,}6^2 > 0{,}6^3\) car \(0{,}6 < 1\).
  2. \(2{,}5 < 2{,}5^2 < 2{,}5^3\) car \(2{,}5 > 1\).
  3. \(\dfrac{9}{10} > \left(\dfrac{9}{10}\right)^2 > \left(\dfrac{9}{10}\right)^3\) car \(\dfrac{9}{10} < 1\).
  4. \(\dfrac{13}{12} < \left(\dfrac{13}{12}\right)^2 < \left(\dfrac{13}{12}\right)^3\) car \(\dfrac{13}{12} > 1\).
Exercice 8 : Le cube est-il toujours supérieur ?
Un élève affirme : « Le cube d'un nombre est toujours supérieur ou égal à ce nombre. »
  1. Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier à l'aide d'un contre-exemple.
  2. Résoudre graphiquement l'inéquation \(x^3 \geqslant x\).
  3. Retrouver ce résultat par une méthode algébrique.
Correction — Exercice 8 1. Faux, par exemple : \(0{,}5^3 = 0{,}125 < 0{,}5\).

2. Méthode graphique
La courbe de la fonction cube est au-dessus de la courbe de la fonction \(x\) après \(1\) et entre \(-1\) et \(0\).
Position relative x³ et x
\(x^3 \geqslant x\) : \(S = [-1\,; 0] \cup [1\,; +\infty[\)

3. Méthode algébrique
Soit \(h\) la fonction définie par \(h(x) = x^3 - x\).

a. \(h(x) = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)\).

b. Tableau de signe de \(h\) :
\(x\) \(-\infty\)   \(-1\)   \(0\)   \(1\)   \(+\infty\)
\(x\) \(-\)   \(0\)   \(+\)   \(+\)
\(x - 1\) \(-\)   \(-\)   \(0\)   \(+\)
\(x + 1\) \(0\)   \(+\)   \(+\)   \(+\)
\(h(x)\) \(0\)   \(+\)   \(0\)   \(-\)   \(0\)   \(+\)
c. \(h(x) \geqslant 0\) lorsque \(h\) est positive donc : \(S = [-1\,; 0] \cup [1\,; +\infty[\).
Exercice 9 : Fonction puissance
On considère la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f_n(x) = x^n\) où \(n\) est un entier naturel non nul.
  1. Conjecturer le signe de \(f_n(x)\) selon la parité de \(n\).
  2. Conjecturer les variations de \(f_n\) selon la parité de \(n\).
Correction — Exercice 9 Lorsque \(n\) est pair, la fonction \(f_n\) est paire. Elle est décroissante sur \(]-\infty\,; 0]\) et croissante sur \([0\,; +\infty[\), et positive sur \(\mathbb{R}\).

Lorsque \(n\) est impair, la fonction \(f_n\) est impaire. Elle est croissante sur \(\mathbb{R}\), négative sur \(]-\infty\,; 0]\) puis positive sur \([0\,; +\infty[\).

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