Activité 1 : Cornet de glace

Un cornet de glace a une hauteur de \(12\) cm. On souhaite que le volume de la boule de glace soit égal au volume du cône (cornet). Rappels : \(V_{\text{sphère}} = \dfrac{4}{3}\pi r^3\) et \(V_{\text{cône}} = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\).

1. Si le cornet a un rayon \(r = 2\) cm et une hauteur \(h = 12\) cm, la contrainte est-elle respectée ?
2. Compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir au dixième) :

\(r\)	\(0\)	\(0{,}5\)	\(1\)	\(1{,}5\)	\(2\)	\(2{,}5\)	\(3\)	\(3{,}5\)	\(4\)	\(4{,}5\)	\(5\)
\(V_{\text{cône}}\)
\(V_{\text{sphère}}\)

3. Représenter les deux fonctions dans le repère ci-dessous.

Repère pour les volumes du cône et de la sphère

Déterminer graphiquement le rayon pour lequel le volume de la boule est égal au volume du cône.
Quel est alors le volume de la boule en cL ?

5. Retrouver algébriquement la valeur du rayon.

Correction — Activité 1

On rappelle que \(1\,cL = 10\,cm^3\) ainsi que les formules :

Volume d'une sphère : \(V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3\)
Volume d'un cône : \(V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h\)

1. \(V_{\text{cornet}} = \dfrac{1}{3}\pi \times 2^2 \times 12 = 16\pi \approx 50\,cm^3 = 5\,cL\).

\(V_{\text{boule}} = \dfrac{4}{3}\pi \times 2^3 = \dfrac{32\pi}{3} \approx 33{,}5\,cm^3 = 3{,}35\,cL\).

La contrainte n'est donc pas respectée.

2. Le cornet faisant \(12\,cm\) de hauteur, il aura un volume de :
\(V_{\text{cornet}} = 12 \times \dfrac{1}{3} \times \pi \times r^2 = 4\pi\,r^2\)

\(r\) (en cm)	\(0\)	\(0{,}5\)	\(1\)	\(1{,}5\)	\(2\)	\(2{,}5\)	\(3\)	\(3{,}5\)	\(4\)	\(4{,}5\)	\(5\)
Volume du cornet (en cm³)	\(0\)	\(3\)	\(13\)	\(28\)	\(50\)	\(79\)	\(113\)	\(154\)	\(201\)	\(254\)	\(314\)
Volume de la boule (en cm³)	\(0\)	\(1\)	\(4\)	\(14\)	\(34\)	\(66\)	\(113\)	\(178\)	\(268\)	\(382\)	\(524\)

Courbes des volumes du cône et de la sphère

4.
a. Le rayon du cornet devra être de \(3\,cm\).

b. Le volume de la boule sera alors de \(113\,cm^3 \approx 11\,cL\).

5. On suppose que \(r \neq 0\) (sinon il n'y a pas de glace !).

\(V_{\text{cornet}} = V_{\text{boule}}\)
\(\Longleftrightarrow 4 \times \pi \times r^2 = \dfrac{4}{3} \times \pi \times r^3 \quad (\div\,4\pi)\)
\(\Longleftrightarrow r^2 = \dfrac{1}{3} \times r^3 \quad (\times\,3)\)
\(\Longleftrightarrow 3r^2 = r^3 \quad (\div\,r)\)
\(\Longleftrightarrow 3 = \dfrac{r^3}{r^2}\)
\(\Longleftrightarrow 3 = r\)

On retrouve le résultat : le rayon doit être de \(3\,cm\).

Activité n°3 — Fonction cube