1 – Définition et Courbe représentative
Définition 1 :
La fonction cube est la fonction qui, à tout réel \(x\), associe son cube \(x^3\).
On la note \(f : x \mapsto x^3\).
La fonction cube est la fonction qui, à tout réel \(x\), associe son cube \(x^3\).
On la note \(f : x \mapsto x^3\).
Exemple 1 :
Images :
- L'image de \(5\) est \(5^3 = 125\).
- L'image de \(-2\) est \((-2)^3 = -8\).
- L'antécédent de \(27\) est \(\sqrt[3]{27} = 3\).
- L'antécédent de \(6\) est \(\sqrt[3]{6} \approx 1{,}82\).
Ensemble de définition : La fonction cube est définie sur \(\mathbb{R}\).
Tableau de valeurs :
| \(x\) | \(-2\) | \(-1{,}5\) | \(-1\) | \(-0{,}5\) | \(0\) | \(0{,}5\) | \(1\) | \(1{,}5\) | \(2\) |
| \(f(x)\) | \(-8\) | \(-3{,}375\) | \(-1\) | \(-0{,}125\) | \(0\) | \(0{,}125\) | \(1\) | \(3{,}375\) | \(8\) |
2 – Propriétés de la fonction cube
Propriété 1 :
La fonction cube est une fonction impaire : pour tout réel \(x\), \(f(-x) = -f(x)\).
La fonction cube est une fonction impaire : pour tout réel \(x\), \(f(-x) = -f(x)\).
Propriété 2 :
La courbe représentative de la fonction cube est symétrique par rapport à l'origine du repère.
La courbe représentative de la fonction cube est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Propriété 3 :
La fonction cube est croissante sur \(\mathbb{R}\).
Elle n'admet pas d'extremum.
Pour tout réel \(x\), \(x^3\) a le même signe que \(x\).
La fonction cube est croissante sur \(\mathbb{R}\).
Elle n'admet pas d'extremum.
Pour tout réel \(x\), \(x^3\) a le même signe que \(x\).
3 – Position relative des courbes de \(x\), \(x^2\) et \(x^3\)
Propriété :
- Sur \([0\,;1]\) : \(x^3 \leq x^2 \leq x\).
- Sur \([1\,;+\infty[\) : \(x \leq x^2 \leq x^3\).
Démonstration :
Sur \([0\,;1]\) : Soit \(x \in [0\,;1]\). On a \(0 \leq x \leq 1\).
En multipliant par \(x \geq 0\) : \(0 \leq x^2 \leq x\).
En multipliant \(x^2 \leq 1\) par \(x \geq 0\) : \(x^3 \leq x^2\).
Donc \(x^3 \leq x^2 \leq x\).
Sur \([1\,;+\infty[\) : Soit \(x \in [1\,;+\infty[\). On a \(x \geq 1\).
En multipliant par \(x \geq 0\) : \(x^2 \geq x\).
En multipliant \(x \geq 1\) par \(x^2 \geq 0\) : \(x^3 \geq x^2\).
Donc \(x \leq x^2 \leq x^3\).
Sur \([0\,;1]\) : Soit \(x \in [0\,;1]\). On a \(0 \leq x \leq 1\).
En multipliant par \(x \geq 0\) : \(0 \leq x^2 \leq x\).
En multipliant \(x^2 \leq 1\) par \(x \geq 0\) : \(x^3 \leq x^2\).
Donc \(x^3 \leq x^2 \leq x\).
Sur \([1\,;+\infty[\) : Soit \(x \in [1\,;+\infty[\). On a \(x \geq 1\).
En multipliant par \(x \geq 0\) : \(x^2 \geq x\).
En multipliant \(x \geq 1\) par \(x^2 \geq 0\) : \(x^3 \geq x^2\).
Donc \(x \leq x^2 \leq x^3\).
