1 – Définition et Courbe représentative
Définition 1 :
La fonction inverse est la fonction qui, à tout réel \(x\) non nul, associe son inverse \(\dfrac{1}{x}\).
On la note \(f : x \mapsto \dfrac{1}{x}\).
La fonction inverse est la fonction qui, à tout réel \(x\) non nul, associe son inverse \(\dfrac{1}{x}\).
On la note \(f : x \mapsto \dfrac{1}{x}\).
Exemple 1 :
Images :
- L'image de \(2\) est \(\dfrac{1}{2}\).
- L'image de \(-3\) est \(-\dfrac{1}{3}\).
- L'image de \(\dfrac{1}{5}\) est \(5\).
- L'image de \(0{,}01\) est \(100\).
- L'antécédent de \(\dfrac{1}{2}\) est \(2\).
- L'antécédent de \(4\) est \(\dfrac{1}{4}\).
- L'antécédent de \(0{,}1\) est \(10\).
Ensemble de définition : La fonction inverse est définie sur \(\mathbb{R}^* = ]-\infty\,;0[ \cup ]0\,;+\infty[\).
Tableau de valeurs :
| \(x\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(-0{,}5\) | \(-0{,}25\) | \(0\) | \(0{,}25\) | \(0{,}5\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
| \(f(x)\) | \(-0{,}25\) | \(-0{,}33\) | \(-0{,}5\) | \(-1\) | \(-2\) | \(-4\) | || | \(4\) | \(2\) | \(1\) | \(0{,}5\) | \(0{,}33\) | \(0{,}25\) |
2 – Propriétés de la fonction inverse
Propriété 1 :
La fonction inverse est une fonction impaire : pour tout réel \(x \neq 0\), \(f(-x) = -f(x)\).
La fonction inverse est une fonction impaire : pour tout réel \(x \neq 0\), \(f(-x) = -f(x)\).
Propriété 2 :
La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole, symétrique par rapport à l'origine du repère.
La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole, symétrique par rapport à l'origine du repère.
On ne peut pas dire que la fonction inverse est décroissante sur \(\mathbb{R}^*\). Elle est décroissante sur chaque intervalle séparément.
Propriété 3 :
La fonction inverse est :
La fonction inverse est :
- décroissante sur \(]-\infty\,;0[\),
- décroissante sur \(]0\,;+\infty[\).
Démonstration du sens de variation :
Soient \(a\) et \(b\) deux réels non nuls de même signe. On calcule : \[\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a - b}{ab}\] Sur \(]0\,;+\infty[\) : Soient \(a\) et \(b\) tels que \(0 < a < b\).
Alors \(a - b < 0\) et \(ab > 0\), donc \(\dfrac{a-b}{ab} < 0\), c'est-à-dire \(\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{a}\).
La fonction inverse est décroissante sur \(]0\,;+\infty[\).
Sur \(]-\infty\,;0[\) : Soient \(a\) et \(b\) tels que \(a < b < 0\).
Alors \(a - b < 0\) et \(ab > 0\), donc \(\dfrac{a-b}{ab} < 0\), c'est-à-dire \(\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{a}\).
La fonction inverse est décroissante sur \(]-\infty\,;0[\).
Soient \(a\) et \(b\) deux réels non nuls de même signe. On calcule : \[\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{a - b}{ab}\] Sur \(]0\,;+\infty[\) : Soient \(a\) et \(b\) tels que \(0 < a < b\).
Alors \(a - b < 0\) et \(ab > 0\), donc \(\dfrac{a-b}{ab} < 0\), c'est-à-dire \(\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{a}\).
La fonction inverse est décroissante sur \(]0\,;+\infty[\).
Sur \(]-\infty\,;0[\) : Soient \(a\) et \(b\) tels que \(a < b < 0\).
Alors \(a - b < 0\) et \(ab > 0\), donc \(\dfrac{a-b}{ab} < 0\), c'est-à-dire \(\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{a}\).
La fonction inverse est décroissante sur \(]-\infty\,;0[\).
