1 – Définition et Courbe représentative
Définition 1 :
La fonction racine carrée est la fonction qui, à tout réel \(x \geq 0\), associe sa racine carrée \(\sqrt{x}\).
On la note \(f : x \mapsto \sqrt{x}\).
La fonction racine carrée est la fonction qui, à tout réel \(x \geq 0\), associe sa racine carrée \(\sqrt{x}\).
On la note \(f : x \mapsto \sqrt{x}\).
Exemple 1 :
- L'image de \(4\) est \(\sqrt{4} = 2\).
- L'antécédent de \(4\) est \(16\) car \(\sqrt{16} = 4\).
- \(-1\) n'a pas d'image par la fonction racine carrée.
Ensemble de définition : La fonction racine carrée est définie sur \(\mathbb{R}_+ = [0\,;+\infty[\).
Tableau de valeurs :
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) | \(6\) | \(7\) | \(8\) | \(9\) |
| \(f(x)\) | \(0\) | \(1\) | \(\approx 1{,}41\) | \(\approx 1{,}73\) | \(2\) | \(\approx 2{,}24\) | \(\approx 2{,}45\) | \(\approx 2{,}65\) | \(\approx 2{,}83\) | \(3\) |
2 – Propriétés de la fonction racine carrée
Propriété 1 :
La fonction racine carrée est croissante sur \([0\,;+\infty[\).
Pour tout réel \(x \geq 0\), \(\sqrt{x} \geq 0\).
La fonction racine carrée est croissante sur \([0\,;+\infty[\).
Pour tout réel \(x \geq 0\), \(\sqrt{x} \geq 0\).
Démonstration du sens de variation :
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(0 \leq a < b\). On utilise l'identité remarquable : \[b - a = (\sqrt{b} + \sqrt{a})(\sqrt{b} - \sqrt{a})\] On a \(b - a > 0\) et \(\sqrt{b} + \sqrt{a} > 0\) (car \(b > 0\)).
Donc \(\sqrt{b} - \sqrt{a} = \dfrac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} > 0\), c'est-à-dire \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\).
La fonction racine carrée est croissante sur \([0\,;+\infty[\).
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(0 \leq a < b\). On utilise l'identité remarquable : \[b - a = (\sqrt{b} + \sqrt{a})(\sqrt{b} - \sqrt{a})\] On a \(b - a > 0\) et \(\sqrt{b} + \sqrt{a} > 0\) (car \(b > 0\)).
Donc \(\sqrt{b} - \sqrt{a} = \dfrac{b - a}{\sqrt{b} + \sqrt{a}} > 0\), c'est-à-dire \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\).
La fonction racine carrée est croissante sur \([0\,;+\infty[\).
3 – Lien avec la fonction carré
La fonction racine carrée et la fonction carré sont des opérations réciproques sur \([0\,;+\infty[\) :
- Pour tout \(x \geq 0\) : \((\sqrt{x})^2 = x\)
- Pour tout \(x \geq 0\) : \(\sqrt{x^2} = x\)
Les courbes des fonctions carré et racine carrée sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\) sur \([0\,;+\infty[\).
