Exercices n°4 — Fonction inverse

Calculer l'image par la fonction inverse des nombres suivants : \(1 \quad;\quad -1 \quad;\quad 2 \quad;\quad -3 \quad;\quad \frac{1}{5}\)
\(-\frac{2}{3} \quad;\quad 0{,}01 \quad;\quad 10^4 \quad;\quad \sqrt{2} \quad;\quad -5\sqrt{3}\)

Déterminer le(s) antécédent(s) par la fonction inverse de chacun des nombres suivants : \(1 \quad;\quad -1 \quad;\quad 5 \quad;\quad -\frac{1}{3} \quad;\quad 0{,}25\)
\(100 \quad;\quad 0 \quad;\quad 10^{-6} \quad;\quad \sqrt{5} \quad;\quad -2\sqrt{7}\)

On note \(f\) la fonction inverse définie par \(f(x) = \dfrac{1}{x}\).
Démontrer que pour tout \(x \neq 0\) : \(f(f(x)) = x\).

Résoudre les équations suivantes :

1. \(\dfrac{1}{x}=4\)
2. \(\dfrac{1}{x}=-\dfrac{2}{5}\)
3. \(\dfrac{1}{x}=0{,}001\)
4. \(\dfrac{1}{x}=\sqrt{3}\)

Résoudre les inéquations suivantes :

1. \(\dfrac{1}{x} \geqslant 2\)
2. \(\dfrac{1}{x} < -1\)
3. \(\dfrac{1}{x} \leqslant 0{,}5\)
4. \(\dfrac{1}{x} > -3\)

Résoudre les inéquations suivantes :

1. \(1 \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant 5\)
2. \(-3 < \dfrac{1}{x} < -1\)
3. \(0 < \dfrac{1}{x} \leqslant 10\)
4. \(\dfrac{1}{4} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{2}\)

Sans calculatrice, comparer les nombres suivants :

1. \(\dfrac{1}{3{,}1}\) et \(\dfrac{1}{3{,}2}\)
2. \(\dfrac{1}{-5}\) et \(\dfrac{1}{-4}\)
3. \(\dfrac{1}{0{,}7}\) et \(\dfrac{1}{1{,}3}\)
4. \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) et \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Compléter les inégalités suivantes :

1. 1. Si \(x > 5\) alors \(\dfrac{1}{x} \ldots \dfrac{1}{5}\)
   2. Si \(0 < x < 2\) alors \(\dfrac{1}{x} \ldots \dfrac{1}{2}\)
   3. Si \(-3 < x < -1\) alors \(\ldots < \dfrac{1}{x} < \ldots\)
2. 1. Si \(\dfrac{1}{x} > 4\) et \(x > 0\) alors \(x \ldots \dfrac{1}{4}\)
   2. Si \(\dfrac{1}{x} < -2\) alors \(\ldots < x < \ldots\)
   3. Si \(2 \leqslant x \leqslant 8\) alors \(\ldots \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \ldots\)

À l'intérieur d'un piston, la pression \(P\), en bars, et le volume \(V\), en litres, suivent la loi : \[P \times V = 1\]

1. Expliquer pourquoi cette loi est liée à la fonction inverse.
2. À l'intérieur du piston, le volume peut varier entre \(0{,}5\) et \(5\) litres. Quelles sont les valeurs possibles pour la pression ?

Lisa doit parcourir \(60\,km\). Elle estime que le trajet durera entre \(1\,h\,15\) et \(1\,h\,30\).

1. Exprimer la vitesse moyenne \(v\) en fonction du temps \(t\) (en heures).
2. Encadrer la vitesse moyenne de Lisa.
3. Quelle est la vitesse moyenne si le trajet dure exactement \(1\,h\,20\) ?

On donne ci-dessous les courbes représentatives de trois fonctions \(f\), \(g\) et \(h\).

1. Identifier chaque courbe parmi les fonctions carré, cube et inverse.
2. Compléter le tableau suivant :