1 – Définition et Courbe représentative
Définition 1 :
La fonction carré est la fonction qui, à tout réel \(x\), associe son carré \(x^2\).
On la note \(f : x \mapsto x^2\).
La fonction carré est la fonction qui, à tout réel \(x\), associe son carré \(x^2\).
On la note \(f : x \mapsto x^2\).
Exemple 1 :
Images :
- L'image de \(5\) est \(5^2 = 25\).
- L'image de \(-2\) est \((-2)^2 = 4\).
- L'image de \(\dfrac{1}{2}\) est \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}\).
- Les antécédents de \(144\) sont \(12\) et \(-12\).
- Les antécédents de \(7\) sont \(\sqrt{7}\) et \(-\sqrt{7}\).
- \(-1\) n'a pas d'antécédent par la fonction carré.
Ensemble de définition : La fonction carré est définie sur \(\mathbb{R}\).
Tableau de valeurs :
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(-0{,}5\) | \(0\) | \(0{,}5\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
| \(f(x)\) | \(9\) | \(4\) | \(1\) | \(0{,}25\) | \(0\) | \(0{,}25\) | \(1\) | \(4\) | \(9\) |
2 – Propriétés de la fonction carré
Propriété 1 :
La fonction carré est une fonction paire : pour tout réel \(x\), \(f(-x) = f(x)\).
La fonction carré est une fonction paire : pour tout réel \(x\), \(f(-x) = f(x)\).
Propriété 2 :
La courbe représentative de la fonction carré est une parabole de sommet \(O\), symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
La courbe représentative de la fonction carré est une parabole de sommet \(O\), symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Propriété 3 :
La fonction carré est :
Pour tout réel \(x\), \(x^2 \geq 0\).
La fonction carré est :
- décroissante sur \(]-\infty\,;0]\),
- croissante sur \([0\,;+\infty[\).
Pour tout réel \(x\), \(x^2 \geq 0\).
Démonstration du sens de variation :
Soient \(a\) et \(b\) deux réels. On utilise l'identité remarquable : \[b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)\] Sur \(]-\infty\,;0]\) : Soient \(a\) et \(b\) tels que \(a \leq b \leq 0\).
Alors \(b - a \geq 0\) et \(b + a \leq 0\), donc \(b^2 - a^2 = (b-a)(b+a) \leq 0\), c'est-à-dire \(b^2 \leq a^2\).
La fonction carré est décroissante sur \(]-\infty\,;0]\).
Sur \([0\,;+\infty[\) : Soient \(a\) et \(b\) tels que \(0 \leq a \leq b\).
Alors \(b - a \geq 0\) et \(b + a \geq 0\), donc \(b^2 - a^2 = (b-a)(b+a) \geq 0\), c'est-à-dire \(a^2 \leq b^2\).
La fonction carré est croissante sur \([0\,;+\infty[\).
Soient \(a\) et \(b\) deux réels. On utilise l'identité remarquable : \[b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)\] Sur \(]-\infty\,;0]\) : Soient \(a\) et \(b\) tels que \(a \leq b \leq 0\).
Alors \(b - a \geq 0\) et \(b + a \leq 0\), donc \(b^2 - a^2 = (b-a)(b+a) \leq 0\), c'est-à-dire \(b^2 \leq a^2\).
La fonction carré est décroissante sur \(]-\infty\,;0]\).
Sur \([0\,;+\infty[\) : Soient \(a\) et \(b\) tels que \(0 \leq a \leq b\).
Alors \(b - a \geq 0\) et \(b + a \geq 0\), donc \(b^2 - a^2 = (b-a)(b+a) \geq 0\), c'est-à-dire \(a^2 \leq b^2\).
La fonction carré est croissante sur \([0\,;+\infty[\).
3 – Équation du type \(x^2 = a\)
Propriété 4 :
Soit \(a\) un nombre réel.
Soit \(a\) un nombre réel.
- Si \(a > 0\), l'équation \(x^2 = a\) admet deux solutions : \(x = \sqrt{a}\) et \(x = -\sqrt{a}\).
- Si \(a = 0\), l'équation \(x^2 = 0\) admet une seule solution : \(x = 0\).
- Si \(a < 0\), l'équation \(x^2 = a\) n'admet aucune solution.
Exemple 2 :
Résoudre les équations suivantes :
- \(x^2 = 1600\)
\(1600 > 0\) donc deux solutions : \(x = \sqrt{1600} = 40\) et \(x = -40\).
\(S = \{-40\,; 40\}\) - \(x^2 = 8\)
\(8 > 0\) donc deux solutions : \(x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) et \(x = -2\sqrt{2}\).
\(S = \{-2\sqrt{2}\,; 2\sqrt{2}\}\) - \(x^2 = 0\)
Une seule solution : \(x = 0\).
\(S = \{0\}\) - \(x^2 = -0{,}25\)
\(-0{,}25 < 0\) donc aucune solution.
\(S = \emptyset\)
