Activité 1 : Comparaison de volumes
- Récipient 1 : rayon fixe \(r = 4\) cm, hauteur variable \(h\).
- Récipient 2 : hauteur fixe \(h = 8\) cm, rayon variable \(r\).
1.
- Exprimer \(V_1(h)\) en fonction de \(h\).
- Quel est le type de cette fonction ?
- Compléter le tableau de valeurs suivant :
\(h\) \(0\) \(0{,}5\) \(1\) \(1{,}5\) \(2\) \(2{,}5\) \(3\) \(V_1(h)\) - Tracer la courbe représentative de \(V_1\) en bleu dans le repère ci-dessous.
- Exprimer \(V_2(r)\) en fonction de \(r\).
- La fonction \(V_2\) est-elle linéaire ? Affine ?
- Compléter le tableau de valeurs suivant :
\(r\) \(0\) \(0{,}5\) \(1\) \(1{,}5\) \(2\) \(2{,}5\) \(3\) \(V_2(r)\) - Tracer la courbe représentative de \(V_2\) en rouge dans le même repère.
- Déterminer graphiquement pour quelle(s) valeur(s) les deux récipients ont la même contenance.
- Retrouver ce résultat par le calcul.
Correction — Activité 1
Récipient 1 : On fixe le rayon \(r\) à \(4\,cm\) et on fait varier la hauteur \(h\) (en cm).Récipient 2 : On fixe la hauteur \(h\) à \(8\,cm\) et on fait varier le rayon \(r\) (en cm).
On rappelle que \(1\,cL = 10\,cm^3\) et que le volume du cylindre est donné par : \[V = h \times \pi \times r^2\] 1.
a. \(V_1(h) = h \times \pi \times 4^2 = 16\pi\,h\)
b. Il s'agit d'une fonction linéaire. Sa courbe représentative est une droite qui passe par l'origine.
c. Tableau de valeurs (arrondi au cL près) :
| \(h\) (en cm) | \(0\) | \(0{,}5\) | \(1\) | \(1{,}5\) | \(2\) | \(2{,}5\) | \(3\) |
| \(V_1(h)\) (en cL) | \(0\) | \(2{,}5\) | \(5\) | \(7{,}5\) | \(10\) | \(12{,}5\) | \(15\) |
2.
a. \(V_2(r) = 8 \times \pi \times r^2 = 8\pi\,r^2\)
b. Non, ce n'est ni une fonction linéaire ni une fonction affine. C'est une fonction du second degré.
c. Tableau de valeurs (arrondi au cL près) :
| \(r\) (en cm) | \(0\) | \(0{,}5\) | \(1\) | \(1{,}5\) | \(2\) | \(2{,}5\) | \(3\) |
| \(V_2(r)\) (en cL) | \(0\) | \(0{,}6\) | \(2{,}5\) | \(5{,}7\) | \(10\) | \(16\) | \(23\) |
3.
a. Lorsque les deux courbes se croisent, les récipients ont le même volume :
Quand \(h = r = 0\), \(V = 0\) et quand \(h = r = 2\), \(V = 32\pi\,cm^3 \approx 10\,cL\).
b. \(V_1(x) = V_2(x)\)
\(\Longleftrightarrow 16\pi\,x = 8\pi\,x^2\)
\(\Longleftrightarrow 2x = x^2\)
\(\Longleftrightarrow 2x - x^2 = 0\)
\(\Longleftrightarrow x(2 - x) = 0\)
\(\Longleftrightarrow x = 0\) ou \(x = 2\)
