On considère une série statistique prenant \(p\) valeurs différentes \(x_1, \ldots, x_p\) avec les effectifs \(n_1, \ldots, n_p\). On note \(N\) l'effectif total et \(f_1, \ldots, f_p\) les fréquences de chacune des valeurs.
1 – Moyenne pondérée
Définition 1 :
La moyenne de la série, notée \(\bar{x}\), est donnée par l'une des formules suivantes : \(\displaystyle\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \ldots + n_p x_p}{N}\)
\(= f_1 x_1 + f_2 x_2 + \ldots + f_p x_p\)
La moyenne de la série, notée \(\bar{x}\), est donnée par l'une des formules suivantes : \(\displaystyle\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \ldots + n_p x_p}{N}\)
\(= f_1 x_1 + f_2 x_2 + \ldots + f_p x_p\)
Exemple 1 :
Voici les notes d'une classe à une interrogation notée sur \(10\) :\(1\) ; \(1\) ; \(2\) ; \(3\) ; \(3\) ; \(3\) ; \(3\) ; \(5\) ; \(5\) ; \(5\) ; \(5\) ; \(5\) ; \(7\) ; \(9\) ; \(9\) ; \(9\) ; \(9\)
La moyenne de la classe est égale à : \(\displaystyle\bar{x} = \frac{2 \times 1 + 1 \times 2 + 4 \times 3 + 5 \times 5 + 1 \times 7 + 4 \times 9}{17}\)
\(= \dfrac{84}{17} \approx 4{,}94\)
Remarque : Lorsque les données sont rangées en classes de valeurs, on utilise le centre de chaque classe.
Propriété 1 (Linéarité de la moyenne) :
Si une série de valeurs \(x_i\) a pour moyenne \(\bar{x}\), alors la série des valeurs \(ax_i + b\) a pour moyenne \(a\bar{x} + b\).
Si une série de valeurs \(x_i\) a pour moyenne \(\bar{x}\), alors la série des valeurs \(ax_i + b\) a pour moyenne \(a\bar{x} + b\).
Exemple 2 :
Le professeur décide de mettre les notes précédentes sur \(20\) et de rajouter un point bonus de présentation à tous les élèves. Quelle sera la nouvelle moyenne de la classe ?On multiplie par \(2\) et on ajoute \(1\) à toutes les notes. La moyenne sera donc de \(2 \times 4{,}94 + 1 = 10{,}88\).
2 – Variance & Écart-type
Définition 2 :
La variance \(V\) d'une série statistique est la moyenne des carrés des écarts entre les valeurs de la série et la moyenne \(\bar{x}\) de la série. L'écart-type \(\sigma\) de la série est la racine carrée de la variance.
La variance \(V\) d'une série statistique est la moyenne des carrés des écarts entre les valeurs de la série et la moyenne \(\bar{x}\) de la série. L'écart-type \(\sigma\) de la série est la racine carrée de la variance.
Exemple 3 :
Voici les notes de mathématiques de deux élèves au 1er trimestre :Antoine : \(3\) ; \(18\) ; \(19\) ; \(4\) Mathilde : \(10\) ; \(11\) ; \(11\) ; \(12\)
- Comparer les notes d'Antoine et Mathilde puis calculer mentalement leur moyenne respective.
Les notes d'Antoine sont dispersées contrairement à celles de Mathilde. Dans les 2 cas on trouve \(\bar{x} = 11\). - Compléter le tableau suivant pour calculer la variance et l'écart-type des notes d'Antoine :
Notes d'Antoine \(3\) \(18\) \(19\) \(4\) Somme des carrés des écarts Moyenne des carrés des écarts Racine carrée du résultat Écart avec la moyenne \(-8\) \(7\) \(8\) \(-7\) Carré de l'écart \(64\) \(49\) \(64\) \(49\) \(226\) \(V = 56{,}5\) \(\sigma \approx 7{,}52\) - Justifier que la variance des notes de Mathilde est donnée par :
\[V = \frac{(10 - \bar{x})^2 + (12 - \bar{x})^2 + 2 \times (11 - \bar{x})^2}{4}\]
Calculer la variance et l'écart-type des notes de Mathilde.
On a \(V = 0{,}5\) et \(\sigma = \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}71\). - Comparer les écart-types d'Antoine et de Mathilde.
L'écart-type des notes d'Antoine est plus élevé.
Remarque : L'écart-type permet de mesurer la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Il a la même unité que les valeurs de la série et en pratique, on le détermine grâce au tableur ou à la calculatrice.
