Exercice 1 : Notes d'une classe
Le diagramme en bâtons ci-dessous indique les résultats d'une classe de Seconde à un DS commun de mathématiques.
- Quel est l'effectif total de la classe ?
- Quelle est l'étendue de la série de notes ?
- Calculer la moyenne de la classe (à 0,01 près).
- Quel est le pourcentage d'élèves ayant eu une note inférieure ou égale à 10/20 ?
Correction — Exercice 1
1. On additionne tous les effectifs : \(2 + 2 + 4 + 1 + 1 + 1 + 3 + 3\)\(+ 5 + 2 + 1 + 4 + 1 + 2 = 32\)
2. \(Etendue = Max - Min = 18 - 2 = 16\)
3. \(\displaystyle\overline{x} = \dfrac{2 \times 2 + 2 \times 3 + \ldots + 2 \times 18}{32}\)
\(\approx 9{,}66\)
4. \(2 + 2 + 4 + 1 + 1 + 1 + 3 + 3 = 17\) élèves.
\(\dfrac{17}{32} \times 100 \approx 53\,\%\) des élèves ont eu une note inférieure ou égale à \(10\).
Exercice 2 : Saut en hauteur
Lors d'une épreuve de saut en hauteur, on a relevé les résultats des participants. \(h\) désigne la hauteur maximale franchie (en cm) par les participants et \(f\) la fréquence.
- Calculer la hauteur moyenne \(\bar{h}\) franchie.
- Quel est le pourcentage de participants ayant franchi au moins \(1\,m\,50\) ?
- Représenter cette série statistique à l'aide d'un diagramme en bâtons.
Correction — Exercice 2
1. \(\displaystyle\overline{h} = \dfrac{6 \times 130 + 10 \times 135 + \ldots + 8 \times 165}{100}\)\(\approx 147\,cm\)
2. \(22\,\% + 12\,\% + 6\,\% + 8\,\% = 48\,\%\) des participants ont franchi \(1\,m\,50\).
3. Diagramme en bâtons :
Exercice 3 : Prix du Gazole
Le tableau ci-dessous indique le prix en euros du litre de Gazole en septembre 2009 sur un échantillon de stations-service.
- Calculer le prix moyen \(\bar{x}\) du litre de Gazole dans l'échantillon considéré.
- Représenter cette série statistique à l'aide d'un histogramme.
Correction — Exercice 3
1. On utilise le centre de chaque classe :\(\displaystyle\overline{x} = \dfrac{0{,}90 \times 6 + 0{,}94 \times 7 + \ldots + 1{,}18 \times 5}{100}\)
\(\approx 1{,}04\) €.
Le prix moyen du Gazole est de \(1{,}04\) €.
2. Histogramme :
Exercice 4 : Salaires
Le tableau ci-dessous donne la répartition des salaires dans une entreprise.
- Calculer le salaire moyen dans cette entreprise.
- Déterminer le salaire médian ainsi que les quartiles de cette série.
Correction — Exercice 4
1. \(\displaystyle\overline{x} = \dfrac{900 \times 12 + 1100 \times 10 + \ldots + 4500 \times 1}{139}\)\(\approx 1986\) €.
2.
\(N = 139 = 2 \times 69 + 1\) (impair), donc la médiane est la \(70^e\) valeur.
On trouve alors \(Med = 1700\).
\(\dfrac{1}{4} \times 139 = 34{,}75\). \(Q_1\) est la \(35^e\) valeur : \(Q_1 = 1300\).
\(\dfrac{3}{4} \times 139 = 104{,}25\). \(Q_3\) est la \(105^e\) valeur : \(Q_3 = 2500\).
Exercice 5 : Maternité
Dans une maternité, la masse à la naissance des bébés a été résumée dans le tableau suivant :
- Calculer la fréquence de chaque classe.
- Réaliser le tableau des F.C.C. de cette série.
- Tracer la courbe des F.C.C.
(Unités : \(1\,kg \leftrightarrow 5\,cm\) et \(10\,\% \leftrightarrow 1\,cm\)) - Utiliser le graphique précédent pour compléter les phrases suivantes :
- 75% des bébés pèsent moins de …
- La moitié des bébés pèsent plus de …
- Le pourcentage de bébés qui pèsent entre \(3\,kg\) et \(3{,}8\,kg\) est voisin de …
Correction — Exercice 5
1) et 2) \(N = 21 + 372 + 942 + 525 + 70 = 1930\)| Fréquence | \(1\,\%\) | \(19\,\%\) | \(49\,\%\) | \(27\,\%\) | \(4\,\%\) |
| F.C.C | \(1\,\%\) | \(20\,\%\) | \(69\,\%\) | \(96\,\%\) | \(100\,\%\) |
a. 75% des bébés pèsent moins de \(3{,}6\,kg\).
b. La moitié des bébés pèsent plus de \(3{,}3\,kg\).
c. Le pourcentage de bébés qui pèsent entre \(3\,kg\) et \(3{,}8\,kg\) est voisin de \(70\,\%\).
Exercice 6 : Frelons
On a relevé la taille d'une population de frelons.
- Quel est le pourcentage de frelons mesurant :
- Moins de \(22\,mm\)
- Plus de \(24\,mm\)
- Estimer graphiquement la valeur de la médiane et des quartiles de cette série.
- Compléter le tableau des fréquences suivant :
- Quelle est la taille moyenne d'un frelon de l'échantillon ?
Correction — Exercice 6
1. Pourcentage de frelons mesurant :a. Moins de \(22\,mm\) : \(17\,\%\)
b. Plus de \(24\,mm\) : \(14\,\%\) \((= 100\,\% - 86\,\%)\)
2. \(Med = 23{,}3\) ; \(Q_1 = 22{,}6\) et \(Q_3 = 23{,}8\).
3. Tableau des fréquences :
| Taille | \([20\,;21[\) | \([21\,;22[\) | \([22\,;23[\) | \([23\,;24[\) | \([24\,;25[\) |
| Fréq. | \(7\,\%\) | \(10\,\%\) | \(14\,\%\) | \(55\,\%\) | \(14\,\%\) |
\(17\,\% - 7\,\% = 10\,\%\) ; \(31\,\% - 17\,\% = 14\,\%\)
\(86\,\% - 31\,\% = 55\,\%\) ; \(100\,\% - 86\,\% = 14\,\%\)
4. On utilise le centre de chaque classe :
\(\displaystyle\overline{x} = \dfrac{20{,}5 \times 7 + 21{,}5 \times 10 + 22{,}5 \times 14 + 23{,}5 \times 55 + 24{,}5 \times 14}{100}\)
\(\approx 23{,}1\)
La taille moyenne d'un frelon est de \(23\,mm\).
Exercice 7 : Durée de vie d'ampoules
Un test de durée de vie sur un lot d'ampoules basse consommation est résumé par la courbe des fréquences cumulées décroissantes (F.C.D.) suivante :
- Quel est le pourcentage d'ampoules dans le lot ayant une durée de vie supérieure à \(10\,000\,h\) ?
- Est-il exact que \(30\,\%\) des ampoules ont une durée de vie inférieure à \(6\,000\,h\) ?
- Estimer le pourcentage d'ampoules dont la durée de vie est comprise entre \(5\,000\,h\) et \(11\,000\,h\).
- Commenter l'affirmation du fabricant : « La durée de vie moyenne pour ce type d'ampoules est de \(8\,000\,h\). »
Correction — Exercice 7
1. \(22\,\%\) des ampoules ont une durée de vie supérieure à \(10\,000\,h\).2. Oui car \(100\,\% - 70\,\% = 30\,\%\).
3. \(79\,\% - 17\,\% = 62\,\%\).
4. Cette affirmation n'est pas correcte : il s'agit de la durée de vie médiane car c'est la durée à partir de laquelle la moitié des ampoules ont grillé.
Exercice 8 : Rythme cardiaque
Lors d'une séance de travaux pratiques, on a relevé le rythme cardiaque d'une classe de 1ère au repos, puis après un effort physique.Au repos :
- À l'aide de votre calculatrice, afficher les principaux paramètres de ces deux séries statistiques.
- Comparer ces deux séries statistiques.
Correction — Exercice 8
| Au repos | Avec effort | |
| Effectif total | \(N = 30\) | \(N = 30\) |
| Moyenne | \(\overline{x} \approx 80\) | \(\overline{x} \approx 112\) |
| Écart-type | \(\sigma \approx 7{,}16\) | \(\sigma \approx 13{,}3\) |
| Médiane | \(Med = 79{,}5\) | \(Med = 110\) |
| \(Q_1\) | \(Q_1 = 73\) | \(Q_1 = 103\) |
| \(Q_3\) | \(Q_3 = 86\) | \(Q_3 = 121\) |
| \(Min\) | \(Min = 69\) | \(Min = 89\) |
| \(Max\) | \(Max = 94\) | \(Max = 139\) |
On peut également dire que les fréquences cardiaques sont plus dispersées avec effort qu'au repos (en comparant l'écart-type, l'écart interquartile : \(Q_3 - Q_1\), et l'étendue : \(Max - Min\)).
Exercice 9 : Temps d'attente
Un directeur de supermarché décide d'étudier le temps d'attente aux caisses. Pour cela, il note le Lundi et le Vendredi les temps d'attente en minutes entières de ses clients.Échantillon du Lundi :
- À l'aide de votre calculatrice, donner les principaux paramètres statistiques (moyenne, médiane, quartiles) de ces deux échantillons.
- Vrai ou Faux ? Justifier.
- Le vendredi, au moins un quart des clients attendent au plus 3 minutes en caisse.
- Le lundi, plus de la moitié des clients attendent plus longtemps que le temps moyen.
- Le vendredi, au moins ¾ des clients attendent moins de \(7\) min.
- Le lundi, environ la moitié des clients attendent entre \(2\) et \(6\) minutes.
Correction — Exercice 9
| Lundi | Vendredi | |
| Effectif total | \(N = 100\) | \(N = 30\) |
| Moyenne | \(\overline{x} \approx 4{,}08\) | \(\overline{x} \approx 5{,}68\) |
| Écart-type | \(\sigma \approx 2{,}27\) | \(\sigma \approx 2{,}8\) |
| Médiane | \(Med = 3{,}5\) | \(Med = 5\) |
| \(Q_1\) | \(Q_1 = 2\) | \(Q_1 = 3\) |
| \(Q_3\) | \(Q_3 = 6\) | \(Q_3 = 8\) |
| \(Min\) | \(Min = 1\) | \(Min = 1\) |
| \(Max\) | \(Max = 10\) | \(Max = 12\) |
a. Vrai car \(Q_1 = 3\,min\).
b. Faux car \(Med = 3{,}5\,min\) et \(\overline{x} \approx 4\,min\). Donc la moitié des clients attendent plus que \(3{,}5\,min\) et donc moins de la moitié attendent plus de \(4\,min\).
c. Faux car \(Q_3 = 8\) donc \(75\,\%\) des clients attendent moins de \(8\,min\).
d. Vrai car il y a \(50\,\%\) des valeurs entre \(Q_1\) et \(Q_3\).
Exercice 10 : Moyenne de la classe
Dans une classe il y a \(7\) internes, \(12\) demi-pensionnaires et \(10\) externes. La moyenne du 1er trimestre est de 11,2 pour les internes, \(10{,}8\) pour les demi-pensionnaires et de \(10{,}4\) pour les externes. Quelle est la moyenne de la classe ?
Correction — Exercice 10
On calcule la moyenne pondérée par les effectifs :\(\displaystyle\overline{x} = \dfrac{7 \times 11{,}2 + 12 \times 10{,}8 + 10 \times 10{,}4}{7 + 12 + 10}\)
\(= \dfrac{312}{29} \approx 10{,}76\)
Exercice 11 : Moyenne de trois nombres
La moyenne de trois nombres \(a\), \(b\) et \(c\) est \(29\).La moyenne de \(a\) et \(b\) est \(22\).
La moyenne de \(b\) et \(c\) est \(39{,}5\).
Quels sont ces trois nombres ?
Correction — Exercice 11
\(\dfrac{a + b + c}{3} = 29\) ; \(\dfrac{a + b}{2} = 22\) ; \(\dfrac{b + c}{2} = 39{,}5\)\(\left\{ \begin{array}{l} a + b + c = 29 \times 3 = 87 \\ a + b = 22 \times 2 = 44 \\ b + c = 39{,}5 \times 2 = 79 \end{array} \right.\)
\(\text{d'où} \quad \left\{ \begin{array}{l} a + b + c = 87 \\ a = 44 - b \\ c = 79 - b \end{array} \right.\) On obtient : \(44 - b + b + 79 - b = 87\)
D'où \(123 - b = 87\) d'où \(b = 123 - 87 = 36\).
Puis \(a = 44 - 36 = 8\) et \(c = 79 - 36 = 43\).
Problèmes
Exercice 12 : Service de livraisons
Voici le détail des livraisons effectuées par une grande surface de meubles au cours de l'année.
- Actuellement il est facturé au client seulement un forfait de \(18\) € par livraison et le gestionnaire estime que le coût du kilomètre est de \(0{,}95\) €.
- Calculer l'effectif total puis en déduire la recette du service de livraison.
- Estimer le coût total engagé pour assurer toutes les livraisons.
- Montrer que le service des livraisons est déficitaire.
- Le gestionnaire décide donc de regrouper les livraisons en trois classes : \([0\,;15[\), \([15\,;30[\) et \([30\,;60[\). Le forfait sera de \(17\) € pour la première tranche et de \(21\) € pour la deuxième tranche.
Quel forfait minimal (en euros entiers) faut-il fixer pour les livraisons éloignées afin que le service des livraisons soit bénéficiaire ?
Correction — Exercice 12
Forfait livraison = \(18\) € ; 1 km = \(0{,}95\) €.1.
a. \(N = 50 + 250 + \ldots + 230 = 3500\)
Recette \(= 3500 \times 18 = 63\,000\) €.
b. On utilise le centre de chaque classe pour estimer le nombre de kilomètres parcourus : \[2{,}5 \times 50 + \ldots + 47{,}5 \times 230 = 77\,220\,km\] On multiplie par le coût d'un km pour avoir une estimation du coût total : \[77\,220 \times 0{,}95 = 73\,340\] € c. \(63\,000 - 73\,340 = -10\,340\)
Le service des livraisons est déficitaire d'environ \(10\,000\) €.
2. On réalise un nouveau tableau :
| Distance (en km) | Nombre de livraisons | Prix |
| \([0\,;15[\) | \(800\) | \(17\) € |
| \([15\,;30[\) | \(2150\) | \(21\) € |
| \([30\,;60[\) | \(550\) | \(x\) € |
On doit récolter au moins \(73\,340\) € pour être bénéficiaire. Soit \(x\) le prix du forfait pour les livraisons éloignées. \[800 \times 17 + 2150 \times 21 + 550x > 73\,340\] \[\Longleftrightarrow 13\,600 + 45\,150 + 550x > 73\,340\] \[\Longleftrightarrow 58\,750 + 550x > 73\,340\] \[\Longleftrightarrow 550x > 14\,590\] \[\Longleftrightarrow x > \dfrac{14\,590}{550} \approx 26{,}5\] Donc le forfait minimal est de \(27\) €.
Exercice 13 : Taux de réussite au bac
Dans un lycée, le proviseur annonce un taux moyen de réussite au bac de \(86{,}52\,\%\). La répartition des élèves suivant les diverses sections est illustrée par le diagramme en barres et le taux de réussite au bac par le diagramme éclaté ci-dessous.
Correction — Exercice 13
Soit \(x\) le taux de réussite en série L.On raisonne sur une base de \(100\) élèves.
On sait que le taux moyen de réussite est \(86{,}52\,\%\). \[\dfrac{85 \times 27 + 80 \times 12 + 91 \times 39 + x \times 22}{100} = 86{,}52\] \[\Longleftrightarrow \dfrac{6804 + 22x}{100} = 86{,}52\] \[\Longleftrightarrow 6804 + 22x = 8652\] \[\Longleftrightarrow 22x = 8652 - 6804\] \[\Longleftrightarrow 22x = 1848\] \[\Longleftrightarrow x = \dfrac{1848}{22} \approx 84\] Le taux de réussite en série L est de \(84\,\%\).
